Учет нестационарности при моделировании теплопереноса

с использованием конечно-разностных методов

, ,

Уральский федеральный университет, Уральский государственный лесотехнический университет, Институт математики и механики УрО РАН, г. Екатеринбург, Россия

Наплавка - это высокотемпературный процесс, поэтому основным фактором, определяющим характер физико-химических процессов при наплавке является тепловое воздействие на металл вблизи границы плавления. В связи с этим при математическом моделировании наплавки основное внимание необходимо уделить расчету тепловых (или концентрационных) полей и их градиентов.

В большинстве случаев при переходе от физической к математической модели приходится решать класс задач с переходными или пограничными слоями, называемыми также сингулярно возмущенными задачами [1]. Наиболее часто подобные задачи сводятся к задачам, содержащим малый параметр при старших производных, путем стандартных преобразований исходного дифференциального уравнения.

В качестве примера рассмотрим задачу с быстродвижущимся тепловым источником. Процесс теплообмена в среде с движущимся тепловым источником в двумерном случае описывается уравнением теплопроводности следующего вида [2]:

. (1)

В уравнении (1): - температура, - коэффициент температуропроводности, функция характеризует плотность распределения тепловых источников, - скорость их движения, знак “~” означает, что переменные являются размерными.

Перейдем в подвижную систему координат, связанную с источниками тепла, для чего сделаем замену переменных . Введем безразмерные переменные - характерные параметры – характерную скорость и характерный размер L, который определяется следующим образом:

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

, где - площадь поверхности источника тепла, S – площадь поверхности тела. После приведения к безразмерному виду получим уравнение:

.

Здесь введены следующие обозначения: .

Параметр при старших производных (величина, обратная критерию Пекле) принимает произвольные значения в зависимости от параметров исходной задачи. Все основные трудности, связанные с классификацией дифференциальных уравнений с параметром при старших производных и их численным решением, проследим на одномерном стационарном уравнении, соответствующем уравнению

(2)

Дифференциальные уравнения (задачи) с параметром.

Рассмотрим свойства дифференциальных уравнений с параметром при старшей производной.

Если параметр содержится при младших производных (коэффициент при старших производных соизмерим с единицей)

,

либо при старших, но принимает конечные значения

то решения соответствующих краевых задач непрерывно зависят от параметра (то есть регулярны по параметру ):

и являются гладкими на всей области определения решения, например, при. Здесь и всюду далее через обозначим положительные постоянные, не зависящие от .

Гладкость решения этих задач характеризуется ограниченностью их старших производных

В этом случае решение является регулярным на всей области определения и соответствующая краевая задача тоже будет регулярной. Ее численное решение не вызывает никаких трудностей.

Пусть теперь параметр содержится при старших производных и может принимать сколь угодно малые значения . Наряду с уравнением (2) рассмотрим уравнение

, (3)

которое является предельным или вырожденным относительно параметра для уравнения (2) (уравнение (2) при значении параметра), а уравнение (2) называется возмущенным к уравнению (3).

Рассмотрим однородные краевые задачи, соответствующие уравнениям (2) и (3) :

(4)

(5)

Задачи (4) и (5) имеют явные решения:

, и . (6)

Очевидно, что не стремится к нулю при сколь угодно малых значениях параметра . Однако решение возмущенной задачи (4) на большей части отрезка [0 ,1] близко к решению предельной задачи (5) и существенно отличается от него лишь в малой окрестности точки , ширина которой соизмерима с . Эта окрестность, в которой значение быстро возрастает от 0 до 1, называется пограничным слоем.

Более того, решение задачи (4) при любых сколь угодно малых не является регулярным по , так как его производные :

являются неограниченными и стремятся к бесконечности, когда параметр стремится к нулю. Поэтому задача (4), являющаяся возмущенной к задаче (5), есть сингулярно возмущенная задача.

Таким образом, мы показали, что современные технологические задачи сварки и наплавки можно преобразовать к задачам с малым параметром при старших производных. В случае задачи с сосредоточенным тепловым источником, таким параметром является линейный размер источника, с быстродвижущимся источником - величина, обратно пропорциональная скорости движения источника, с включениями - размер включения. Так как параметры могут принимать различные значения, то эти задачи образуют класс задач с параметром при старших производных, который может принимать любые значения из полуинтервала (0,1], следовательно их решения являются сингулярными по . Этот класс задач, в зависимости от данных исходной задачи, содержит классы задач с малым параметром при старших производных и с конечным параметром при старших производных, то есть весь спектр дифференциальных задач от регулярных до сингулярных (решения этих задач могут иметь ограниченную гладкость и быть сингулярными).

Проблемы численного решения задач сварки и наплавки

Численное решение регулярных задач с ограниченной гладкостью решений, где - достаточно большое число, и сингулярных задач с сингулярными решениями, где - может быть любым сколь угодно большим числом, вызывает существенные трудности. Трудности связаны, в основном, с тем, что для задач с ограниченной гладкостью (тем более сингулярных) точность приближенного решения не подчиняется правилу, справедливому для задач с регулярными решениями:

Точность приближенного решения соизмерима с шагом разностной сетки, и приближенное решение вычисляется тем точнее, чем меньше шаг сетки.

Это объясняется тем, что значение произвольной постоянной в оценке погрешности приближенного решения зависит от значения производных соответствующего дифференциального уравнения. Для задач с ограниченной гладкостью решений, в случае класса задач с параметром при старшей производной (), при малых значениях или соизмеримых с шагом разностной сетки , их производные могут быть сколь угодно большими.

Погрешность приближенного решения в этом случае может стать очень большой, соизмеримой с величиной самого решения, а величина этой погрешности зависит от величины параметра . Поэтому при численном решении практических задач разностным методом необходимо рассмотреть две различные проблемы :

а) получение решения (числа, поля температур),

б) установление точности полученного приближенного решения.

При численном решении задач с малым параметром в случае, когда параметр может быть сколь угодно мал, возникает следующая ситуация. Если в пограничный слой не попадают узлы разностной сетки, то в узлах сетки приближенное решение хорошо аппроксимирует решение дифференциальной задачи. Это происходит потому, что ширина пограничного слоя оказывается меньше шага сетки, он как бы размывается на такой грубой сетке. Вне пограничного слоя решение, получаемое по стандартной разностной схеме хорошо приближает точное решение исходной дифференциальной задачи. Этот случай не представляет интереса, так как здесь нет приближения точного решения дифференциальной задачи в окрестности пограничного слоя. Если же узлы разностной сетки попадают в погранслой (при сколь угодно малом значении параметра ), то для каждого значения найдется значение , соизмеримое с (либо с некоторой функцией в зависимости от типа вырожденного уравнения), что будет верна оценка:

,

где - приближенное решение.

Проиллюстрируем эту оценку для решения задачи (4) классической (стандартной) монотонной схемой [3], которая предназначена для решения задач без особенностей решения.

Разностную сетку по выбираем равномерной, тогда разностная задача, соответствующая задаче (4), примет вид

(7)

Решение задачи (7) имеет следующий вид [4]:

(8)

где - номер узла разностной сетки .

Из явного вида решений дифференциальной задачи (6) и разностной (8) следует, что решение разностной задачи не стремится к решению дифференциальной задачи при равномерно относительно . Действительно,

при ,

,

следовательно,

,

т. е. решение разностной задачи не сходится к решению дифференциальной.

Из рассмотрения этого примера следует, что для класса дифференциальных задач с малым параметром при старших производных в случае, когда или принимает любое значение на интервале (0,1], при попадании узлов разностной сетки в погранслой для классических схем нельзя получить гарантированную точность при любых значениях шага разностной сетки .

Рассмотренные выше проблемы численного решения задач с параметром можно продемонстрировать на примере решения задачи (7).

Фиксируем число узлов равномерной разностной схемы . Параметр меняется в пределах , причем на отрезке шаг изменения равен , а на отрезке параметр меняется с шагом .

На рис.1 приведен график погрешности приближенного решения

Из рисунка видно, что при уменьшении параметра e погрешность приближенного решения растет и достигает 13.2% при . Затем ошибка решения продолжает возрастать при уменьшении и достигает 20%, когда значение e становится в 2 - 3 раза меньше . При дальнейшем уменьшении ошибка приближенного решения начинает убывать. Это происходит потому, что ширина пограничного слоя становится много меньше шага разностной сетки и внутрь него не попадают узлы сетки. Однако, при вычислении производной (потоков тепла) на такой грубой сетке, получим большие ошибки.

Приведенные примеры показывают, что проблема получения достаточно точного приближенного решения задачи с малым параметром при старших производных может быть разрешена лишь путем разработки специальных численных методов, равномерно относительно параметра сходящихся к решению соответствующей дифференциальной задачи и позволяющих получить приближенное решение задачи вместе с его производными с точностью, не зависящей от величины параметра , а зависящей только от ресурса памяти ЭВМ (числа узлов разностной сетки ). Равномерная сходимость относительно параметра понимается в смысле сходимости соответствующей разностной схемы с ростом при всех значениях из полуинтервала (0,1].

Области применимости классических разностных схем.

Известно, что точность получающегося приближенного решения прикладной задачи при решении классическими разностными схемами зависит от:

1) выбранного численного метода,

2) параметров дифференциальной задачи,

3) параметров численного метода.

Параметрами дифференциальной задачи являются значения коэффициентов соответствующего уравнения, а параметрами численного метода являются, например, число узлов сетки или шаг разностной сетки.

Для приближенного решения задачи (4), полученного по классическим разностным схемам,

верна оценка в случае схемы первого порядка точности:

,

и оценка в случае схемы второго порядка точности:

.

Эти оценки позволяют решить две задачи:

(I) При выбранном методе решения и заданном указать те значения , при которых полученное приближенное решение будет заданной точности;

(II) При выбранном методе решения и заданном значении параметра указать те значения , которые гарантируют заданную точность полученного приближенного решения.

Содержательный смысл задачи (I) можно сформулировать следующим образом.

Дана конкретная ЭВМ, чем определено наименьшее возможное значение шага разностной сетки для численного решения некоторой задачи. Вышеприведенные оценки позволяют получить границы параметров дифференциальной задачи , при которых можно решить задачу с разумной точностью.

Смысл задачи (II) состоит в выборе ЭВМ (ресурса памяти) для решения конкретной прикладной задачи с фиксированным значением .

Рассмотрим решение задачи (I) для случая задачи определения температурных полей при сварке. В одномерном случае, при постоянных значениях теплофизических коэффициентов свариваемой детали, эта задача сводится к решению уравнения теплопроводности

,

функция характеризует плотность распределения теплового источника, знак “~” означает, что переменные являются размерными.

Перейдем к безразмерным переменным, для чего введем характерные параметры – характерное время сварки и характерный размер L, который определяется следующим образом:

, где - размер (длина) источника тепла, – размер свариваемого изделия. После приведения к безразмерному виду получим уравнение:

, где - критерий Фурье.

Если выполняется условие то, в случае схемы первого порядка точности нельзя гарантировать получение приближенного решения с разумной точностью, так как должно выполняться условие , где - некоторая константа. Предположим, что в нашем распоряжении имеется ЭВМ, при расчетах на которой мы можем выбрать узлов разностной сетки. Пусть размер свариваемого изделия м., размер источника теплам., время сварки сек., изделие изготовлено из перлитной стали, т. е. .

В этом случае параметр (критерий Фурье) составляет величину порядка и это значение параметра не позволяет получить на данной ЭВМ приемлемого для практики (по точности) решения при . При значениях существенно больших чем величина задача может быть решена на данной ЭВМ. Чтобы получить решение с приемлемой точностью при величине параметра , необходимо задаться числом узлов сетки значительно больших, чем, при этом шаг по временной переменной тоже должен быть такого же порядка.

Таким образом, получили, что рядовая одномерная задача сварки даже при расчете на мощной современной ЭВМ может быть решена с приемлемой точностью только при условии значительных затрат ресурсов ЭВМ и очень большого времени счета.

Важно отметить, что большинство задач, которые приходиться решать на практике – это двух - и трех-мерные задачи, для которых получить приемлемое по точности решение практически невозможно, так как число узлов по пространственным переменным и по времени резко (на порядки) возрастает. Так, в трех - мерной задаче при величине параметра необходимо задать число узлов по пространству намного больше чем , и шаг по времени большим чем .

После рассмотрения данного примера возникает необходимость введения некоторых определений, позволяющих провести классификацию классических разностных схем по точности получающегося приближенного решения.

Зададимся некоторым заранее установленным уровнем точности получаемого приближенного решения.

Назовем приближенное решение дифференциальной задачи с параметром , регулярным по заданной точности при заданном значении параметра и выбранном разностном методе решения и параметре схемы , если для его погрешности справедлива оценка

. (9)

Если эта оценка нарушается, то приближенное решение назовем сингулярным (относительно заданной точности ). Сама разностная схема в этом случае тоже сингулярная.

Назовем параметры дифференциальной задачи, объединенные в комплексе , регулярными по заданной точности при выбранных методе решения и его параметре , если для погрешности приближенного решения верна оценка (9). В противном случае параметр называется сингулярным относительно , и метода.

Назовем параметры численного метода ( или ) регулярными по заданной точности при заданном значении параметра и выбранном методе решения, если для погрешности полученного приближенного решения верна оценка (9). Если же оценка не выполнена, то параметры численного метода называются сингулярными относительно , и метода.

Приведенные определения естественны, а не являются чем-то надуманным. С их помощью можно четко указать границы изменения параметров дифференциальной задачи и разностной схемы, в пределах которых можно решить задачу классическими разностными методами, а вне этих границ естественно искать новые методы решения (специальные). Используя их, можно по-новому сформулировать задачи (I) и (II). Смысл задачи (I) состоит в том, чтобы указать регулярные значения параметра для выбранных: метода, точности и ; смысл задачи (II) состоит в том, чтобы выделить класс регулярных разностных методов и регулярных значений , чтобы при заданном значении параметра решить задачу с заранее заданной точностью.

Приведенная выше классификация дифференциальных и разностных задач условно изображена на рис. 2.

Рис 2.

Классификация дифференциальных задач и разностных задач для классических схем

Приведенные в данном пункте рассуждения и примеры позволяют сделать следующий вывод. Классические разностные схемы имеют ограниченную область применения, размеры и граница которой зависят от соотношения между параметрами дифференциальной задачи и параметрами выбранного численного метода и точности. Вне пределов этой области классические разностные схемы не дают разумной точности решения и, при данных соотношениях параметров, необходимо применение специальных методов. Положение границы раздела зависит от типа выбранной ЭВМ (то есть, от ) и заданной точности приближенного решения . Схематично эти области представлены на рис. 3.

Рис. 3

Области применения классических разностных схем

Здесь: зона 1 -- зона регулярных решений прикладной задачи, зона 3 --зона сингулярных решений, линия 2 -- граница раздела. Очевидно, что это не четкая линия, а размытая. Область левее зоны 3 (зонаэто область, в которой ширина пограничного слоя много меньше шага разностной сетки, но решение в ней тоже сингулярно.

Проблемы разработки и построения специальных разностных схем для сингулярно возмущенных задач с малым параметром при старшей производной были рассмотрены в [5].

ВЫВОДЫ

1. Проведена классификация дифференциальных задач с параметром при старших производных, описывающих тепловые процессы сварки и наплавки, по величине параметра.

2. Обсуждены проблемы численного решения задач сварки и наплавки.

3. Проведена классификация разностных задач по точности получающегося приближенного решения.

4. Рассмотрены соотношения областей применимости по точности классических разностных схем в зависимости от соотношения параметров дифференциальной задачи и разностной схемы.

Список литературы

1. Shishkin G. I. Discrete approximation of singularly perturbed elliptic and parabolic equations. 1992, Russian Academy of Sciences, Ural Section, Ekaterinburg.

2. , Самарский математической физики. 1966, Наука. Москва.

3. Самарский дифференциальных схем. 1989, Наука. Москва.

4. Il’in A. M. Difference scheme for a differential equation with a small parameter affecting the highest derivative. Math. Notes, 1969, 6, (2), 596-602.

5. Yakovlev V. V., Shishkin G. I., Pershin I. V., Shanchurov S. M. The features arising at the numerical modeling of thermal problems of welding and cladding. //Third International Conference on Mathematical Modeling and Computer Simulation of Metal Technologies, MMT-2004, College of Judea and Samaria, Izrael, September 06-10, 2004, pp 134-144.