Методические рекомендации по изучению дисциплины (стр. 1 )

Министерство образования и науки Республики Казахстан

Павлодарский государственный университет им. С. Торайгырова

Кафедра математики

Методические рекомендации по изучению дисциплины

дисциплины Введение в специальность

для студентов специальности 5В060100 «Математика»

Составитель:

д. п.н., профессор ПГУ

Павлодар

1 Цели и задачи дисциплины «Введение в специальность»

Основы общей математической культуры студентов математических специальностей формируются в процессе изучения целого ряда дисциплин, которые традиционно группируются вокруг трех основополагающих: математического анализа, высшей алгебры и аналитической геометрии. Эта градация явилась естественным отражением исторически сложившегося и, в известном смысле, канонизированного деления математики на алгебру, геометрию и анализ. В процессе развития и становления каждой из этих дисциплин были выработаны методология, символика, система первичных понятий и отношений, особенности которых в наиболее образной форме отразили их содержание.

В связи с этим, традиционные подходы к изложению базовых дисциплин наложили свой отпечаток на форму и последовательность введения, в дисциплинах к ним примыкающих, таких понятий и отношений математики, как множество, соответствие, отображение (функция); отношение частичного порядка, отношение эквивалентности; алгебра, модель, алгебраическая система, отношения гомоморфизма и изоморфизма. Указанные понятия вводятся и используются в рамках дисциплин данной группы по мере необходимости, применительно к потребностям именно этих дисциплин. Зачастую их трактовка при переходе к дисциплинам другой группы претерпевает значительные изменения, отражая специфику базовой дисциплины этой группы.

Многие из приведенных выше понятий предполагаются известными из школьной математики, но их школьная трактовка далеко не всегда приемлема для целей высшего этапа изучения математики. Кроме того, как показывает опыт работы, все эти понятия усваиваются в школе очень плохо. Тем не менее, ни в одной из вузовских математических дисциплин эти фундаментальные понятия современной математики не являются непосредственно предметом изучения. В лучшем случае краткие сведения о первичных понятиях и отношениях, в учебниках и пособиях по изучению этих дисциплин, составляют содержание вводной главы между ними.

Развитие электронно-вычислительной техники, широкое распространение компьютеров, внедрение информационных технологий во все сферы жизни и деятельности человека способствовали изменению устоявшихся взглядов на традиционные разделы современной математики. Наиболее показательным здесь является повышение интереса к, так называемой, конечной математике. Это объясняется прежде всего тем, что, являясь важнейшими характеристиками алгоритма, дискретность и конечность оказались органичны самой природе информационных технологий. В соответствии с этим, объекты абстрактной (нечисловой) природы, а также их простейшие конфигурации (абстрактные множества и отношения, графы, деревья, булевы алгебры, начальные понятия комбинаторной математики, математической логики, теории игр, теории вероятностей и т. д.) становятся все более востребованными, так как именно они вводят в круг образов и идей современной математики, служат теоретическим и методологическим обеспечением развития информационных технологий.

2 Из истории развития формальной логики

Создание современного математического языка во многом обязано логике. Слово «Логика» происходит от греческого слова «logos», что значит «мысль», «слово», «разум», «закономерность» и используется для обозначения совокупности тех правил, которым подчиняется процесс мышления с одной стороны и для обозначения науки о правилах рассуждений и тех формах, в которых оно осуществляется – с другой.

Возникновению логики, как науки предшествовала длительная практика мышления. Отмечают две основные причины возникновения логики. Первая из них – процессы, связанные с зарождением и развитием наук (прежде всего – естественно-математических), которые обусловили необходимость исследования природы самого мышления, как формы научного познания. Вторая причина – развитие ораторского искусства, которое способствовало выявлению таких формальных схем, которым должна следовать мысль, чтобы, воплощенная в слово, она оказывала наиболее ощутимое воздействие на аудиторию – убеждала бы ее в чем-то; вынуждала бы с чем-то соглашаться или не соглашаться; признавать что-то истинным, что-то ложным.

Следствием этих причин явилось становление формальной логики, как науки о законах и формах правильного мышления. Различают два этапа развития формальной логики. Деление на этапы обусловлено прежде всего различием средств и методов исследования, применяемых в формальной логике.

Начало первого этапа связано с работами древнегреческого философа и ученого Аристо– 322 до н. э.), который впервые дал систематическое изложение логики. Логика Аристотеля, труды других мыслителей и философских школ вплоть до середины XIX в. и составляют первый этап развития. Логику этого этапа называют «традиционной» логикой.

В логике Аристотеля, с исчерпывающей глубиной и строгостью разработана теория дедуктивных умозаключений и доказательств. Слово «дедукция» в переводе на русский язык означает вывод. Аристотель впервые обратил внимание на то, что рассуждая по определенным схемам, мы из одних истинных утверждений всегда выводим другие истинные утверждения, исходя не из конкретного содержания этих утверждений, а только вследствие формальной структуры применяемой схемы.

Рассмотрим, к примеру, такую формальную схему рассуждений:

Все М есть Р

Все S есть M (1)

Все S есть Р

Утверждения этой схемы, стоящие над чертой, называются посылками, а утверждение, стоящее под чертой – заключением. Конкретными версиями рассуждений, осуществляющихся по этой схеме, являются:

а) Все рыбы дышат жабрами.

Все караси являются рыбами.

 

Все караси дышат жабрами;

б) Все квадраты являются ромбами.

Все ромбы - параллелограммы.

Все квадраты являются параллелограммами.

Эти рассуждения показывают, что независимо от того, что конкретно подразумевается под М, Р, S , из истинных посылок, по схеме (1), всегда выводятся истинные заключения. В терминологии Аристотеля схемы, подобные (1), называются модусами категорического силлогизма. Силлогизмы, как и все умозаключения, делятся на правильные и неправильные. Модусы силлогизма, применение которых приводит к ошибкам (т. е. из истинных посылок может быть выведено ложное заключение) называются неправильными. В логике Аристотеля насчитывается 19 правильных модусов силлогизма.

Следует отметить, что в логике Аристотеля содержаться элементы символической (т. е. математической) логики. Однако потребовались столетия и труды многих поколений философов, чтобы сделать исключительно важный шаг к изучению формальной логики математическими методами, что знаменовало второй этап ее развития. Формальная логика этого этапа называется математической (или символической) логикой. Математическая логика изучает логические связи и отношения, лежащие в основе дедуктивного вывода математическими методами на языке специальных логических исчислений, позволяющих выявить структуру вывода и формализовать ее.

Значительный вклад в дело становления математической логики внес английский математик и логик Д. Буль (). В своей монографии «Исследование законов мышления» и других работах он внедрил в логику алгебраическую символику и применил к логике методы современной ему алгебры, что привело его к созданию алгебры высказываний, как своеобразной модели мыслительной деятельности человека.

Алгебра высказываний – один из начальных разделов современной математической логики. Естественным развитием этой алгебры явилась алгебра предикатов. На базе языка алгебры предикатов был создан язык современной математики.

3 О языке современной математики

Структура любого естественного языка предполагает выделение синтаксической и семантической составляющих. При этом под синтаксисом понимаются законы построения слов из букв алфавита; простых предложений из слов; сложных предложений из простых, а также правила пунктуации, выступающие в роли регламентирующих правил. Под семантикой понимается выявление возможных смысловых значений слов, простых и сложных предложений, т. е. выявление содержательного смысла синтаксических конструкций. Следует отметить, что в обычных языках синтаксис и семантика определены нестрого; синтаксические правила нечетко очерчены и имеют множество исключений, которые зачастую не находят ни исторических ни логических мотиваций. Семантика даже простых предложений может оказаться неоднозначной.

По этим причинам естественные языки не всегда пригодны для изложения и передачи математических знаний. Для этих целей необходим искусственный (или частично искусственный) язык, построение которого осуществляется по четко сформированным правилам. Такие языки возникают на основе естественных языков, но отличаются от них строгой определенностью алфавита, синтаксиса и семантики. Описание синтаксических конструкций и правил семантики таких языков осуществляется в некотором естественном языке (в данном случае - русском). Этот внешний, по отношению к искусственному символическому языку, язык называется метаязыком. Здесь уместна аналогия с изучением незнакомого иностранного языка. Например, изучая английский язык, мы используем грамматику этого языка, написанную на русском языке. Т. е. английский язык, в данном случае, выступает в роли искусственного символического языка, а русский – в роли метаязыка.

Алфавит символического языка задается посредством выписывания всех символов, которые будут употребляться. Конечная упорядоченная последовательность символов алфавита называется словом. Из множества всех слов по определенным правилам (правилам образования или синтаксическим правилам) выделяются слова специального вида, которые называются формулами. К алфавиту и множеству формул предъявляются требования эффективности:

- должен существовать метод, позволяющий эффективно определить, является ли любой данный символ символом алфавита или нет;

- должен существовать метод, позволяющий эффективно определить, является ли любое данное слово (построенное из символов алфавита) формулой или нет.

Одним из важнейших достижений математики 20 века является создание метода формальных аксиоматических теорий. Суть этого метода заключается в том, что тот или иной раздел науки задается совокупностью аксиом – формул, записанных в символах алфавита подходящего символического языка, а затем из аксиом посредством четко описанных правил (правил вывода) выводятся теоремы – формулы, с содержательной (семантической) точки зрения, представляющие истинные утверждения рассматриваемого раздела науки.

Алгебра высказываний и алгебра множеств

Множества и отношения над ними

Понятие множества в математике сформировалось в результате обобщения интуитивных представлений о семействе, классе, собрании, многообразии элементов, которое стало мыслиться, как самостоятельно существующий объект. Все попытки дать строгое математическое определение этого понятия не увенчались успехом, так как они апеллировали к нашей интуиции и опыту. Основоположник теории множеств Г. Кантор (1845г. – 1918г.) вводил понятие множества, как любое собрание определенных и различимых между собой объектов нашей интуиции, мыслимое как единое целое. Согласно этой трактовке, множеством может считаться любое образование объектов, каждый из которых удовлетворяет корректному характеристическому свойству. Единственным требованием, предъявляемым к этому свойству, было требование доступности его для нашего интуитивного восприятия. Вплоть до конца 19 века интуитивная концепция множества не вызывала, практически, никаких возражений. На основе этой концепции была создана, так называемая, интуитивная (наивная) теория множеств. Но в более поздний период развития теории множеств оказалось, что такая широкая трактовка понятия множества приводит к различного рода противоречиям (парадоксом наивной теории множеств).

В настоящее время теория множеств базируется на аксиоматической основе, в рамках которой исключено появление множеств с парадоксальными свойствами, так как посредством системы аксиом ограничивается свобода выбора свойств, которые могут быть положены в основу формирования множества. Тем не менее, в дальнейшем, мы будем полагаться на интуитивные представления о понятии множества, так как содержательное восприятие аксиоматической теории множеств предполагает достаточно глубокое усвоение понятий и результатов, полученных в рамках интуитивной теории. Таким образом, под множеством будем понимать совокупность объектов, объединенных в одно целое каким-нибудь общим свойством.

Пример 1 Примерами множеств могут служить:

а) множество городов Республики Казахстан;

б) множество действительных чисел;

в) множество прямоугольных матриц размерности т´п над полем действительных чисел;

г) множество точек плоскости;

д) множество студентов данного университета.

Объекты, входящие в множество называются его элементами. Множества будем обозначать большими печатными буквами латинского алфавита, а его элементы – прописными малыми буквами этого алфавита. То, что а является элементом множества А будет символически записываться так: аÎА. В противном случае употребляется запись аÏА.

Если множество М содержит конечное число элементов, то оно называется конечным, в противном случае – бесконечным.

Очевидно, что конечное множество может быть задано перечислением всех его элементов (явный способ задания).

Пример.2 а) {а; е; и; о; у; э; ю; я} - множество гласных букв русского алфавита;

б) {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} - множество цифр десятичной системы;

в) {+; -; ·; :} - множество символов для арифметических операций;

г) {ромб; параллелограмм; квадрат; прямоугольник} - множество видов плоских фигур.

Понятно, что этот способ не может быть применен для задания бесконечных множеств. В таких случаях используется описательный способ задания множества, т. е. указывается то характеристическое свойство, которым обладают все его элементы.

Буквами a; b; c; d (т. е. буквами из начала латинского алфавита) обозначаются обычно конкретные элементы множеств. Для этих же целей употребляются обозначения a1; a2; …; b1; b2; … . Буквами x; y; z; u; v (или х1; х2; …; у1; у2; …) обозначаются произвольные (переменные) элементы этих множеств.

Пример 3 а) – натуральное число, имеющее только два различных натуральных делителя} - множество простых чисел;

б) – множество решений неравенства ;

в) – корень многочлена с рациональными коэффициентами} - множество алгебраических чисел;

г) – четырехугольник, у которого диагонали в точке пересечения делятся пополам} - множество параллелограммов.

Свойства элементов будем обозначать буквами P; Q; R (P1; P2;…; Q1; Q2; …). Запись Р(а) (или R(b); Q4(d)) будет означать, что элемент а обладает свойством Р (элемент b - свойством R, а элемент d - свойством Q4).

В соответствии с этим, посредством будем обозначать множество тех объектов х, которые обладают свойством Р.

На совокупностях множеств вводятся отношения: «равенства» и «быть подмножеством».

Определение 1 Множества М1 и М2 называются равными (М1=М2), если они состоят из одних и тех же элементов.

Другими словами, множества М1 и М2 равны тогда и только тогда, когда любой элемент х из М1 принадлежит М2 и обратно: любой элемент х из М2 принадлежит М1.

Пример 4 Множества {1; 5; 7; 1; 3} и {1; 7; 1; 3; 5; 3; 1} равны между собой и каждое из них равно множеству {1; 3; 5; 7}.

То, что множества А и В не равны (А ¹ В) означает, что или в множестве А существует элемент, не принадлежащий В, или, что в множестве В существует элемент, не принадлежащий А.

Упражнение 1 Доказать, что:

а) А = А;

б) если А = В, то В = А;

в) если А = В и В = С, то А = С,

для любых множеств А, В и С.

Определение 2 Множество А называется подмножеством множества В (символически А Í В), если каждый элемент из А является элементом В.

Отношение Í называется отношением включения. В связи с этим употребляется терминология: имеет место включение А Í В.

Упражнение 2 Доказать, что:

а) А = В тогда и только тогда, когда А Í В и В Í А;

б) А Í А;

в) из того, что А Í В и В Í С следует, что А Í С.

В соответствии с пунктом а), доказательство того, что множества А и В равны, сводится к доказательству двух включений: АÍ В и В Í А. Вследствие этого, доказательство равенства множеств, основывающееся на этом пункте, называется доказательством методом включений.

Определение 3 Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым.

Пустое множество обозначается символом Æ. Очевидно, что любые два пустых множества равны между собой (смотри определение 1.1.1), т. е. пустое множество определяется однозначно. Очевидно также, что пустое множество является подмножеством любого множества.

Подмножества Æ и А называются несобственными подмножествами множества А; все другие подмножества этого множества называются собственными. Запись В Ì А означает, что В – собственное подмножество множества А. Таким образом, В Ì А тогда и только тогда, когда В Í А и В ¹ А.

В математике часто встречаются множества, элементами которых также являются множества.

Пример.4 {Æ; {a}; {b}; {g}; {a; b}; {a; g}; {b;g}; {a; b;g}} - множество всех подмножеств множества {a; b;g}.

Множество всех подмножеств множества М обозначается через В(М) и называется булеаном множества М, т. е.

.

В связи с примером 1.1.4, заметим, что aÎ{a}, но a ¹ {a}.

Операции над множествами

На совокупности всех множеств вводятся теоретико-множественные операции: Ç - пересечение; È - объединение; \ - разность, в соответствии со следующими определениями.

Определение 1.2.1 Пересечением множеств А и В называется множество А Ç В, состоящее из тех и только тех элементов, которые одновременно принадлежат как к А, так и к В, т. е.

.

Пример

а) {a; b; g; d; s; e} Ç {x; e; g; h} = {g; e};

б) ;

в) Пусть Р – свойство четырехугольника, заключающееся в равенстве его углов, а Q – свойство четырехугольника, заключающееся в равенстве его сторон. Тогда:

-

множество всех квадратов.

Определение Объединением множеств А и В называется множество А È В, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А или В, т. е.

.

Пример а) {a; g; d; e} È {g; h; x; b} = {a; b; g; d; e; x; h};

б) Пусть и . На рисунке 1.2.1 изображено множество точек (х; у) координатной плоскости ХОУ, принадлежащих множеству А È В.

Рисунок 1.2.1

Определение Разностью множеств А и В называется множество А \ В, состоящее из всех элементов, принадлежащих А и не принадлежащих В, т. е.

.

Разность А \ В множеств А и В называется также дополнением множества В в множестве А.

Пример а) Пусть Р(х) означает свойство четырехугольника быть ромбом, S(х) – свойство четырехугольника быть прямоугольником. Тогда

-

множество всех ромбов, не являющихся квадратами;

б) .

Индуктивные доказательства и индуктивные определения

В математике часто встречаются утверждения, зависящие от натурального параметра п. В связи с этим их обозначают через Р(п), отмечая наличие этой зависимости. Как правило предполагается, что Р(п) имеет смысл при всех натуральных значениях п:

п = 0; п = 1; п = 2; …; п = к; … .

При каждом конкретном значении параметра п = к, А(к) превращается в истинное или ложное утверждение. Естественно считать утверждение А(п) истинным вообще, без конкретизации значения параметра п, если оно истинно при любом значении этого параметра. Следует отметить, что если рассматриваемое утверждение Р(х) является истинным даже для достаточно большого числа начальных значений параметра п, вывод о справедливости этого утверждения для всех натуральных значений параметра п – неправомерен.

Пример (Л. Эйлер) Пусть рассматривается утверждение А(п): «Для любого натурального числа п, число является простым». При п = 0; 1; 2; …; 40 число указанного вида действительно является простым, но уже при п = 41 получаем: - составное число.

Понятно, что невозможно доказать утверждение Р(п) в общем виде последовательно устанавливая, что каждое из конкретных утверждений:

Р(0); Р(1); …; Р(к); …

является истинным.

Для доказательства утверждений, подобных Р(п) применяется метод полной математической индукции, основанный на принципе индукции: утверждение Р(п), зависящее от натурального параметра п, считается доказанным, если это утверждение верно для п = 0 и для любого натурального значения параметра п равного к из предположения о том, что Р(к) является верным, удается вывести, что Р(к+1) также является верным.

Согласно этого принципа проведение доказательства методом полной математической индукции предполагает:

а) обязательную проверку (доказательство) того, что утверждение Р(0) является верным (эта часть доказательства называется базисом индукции);

б) предположение о том, что утверждение Р(п) является верным при п = к, где к –любое (но конкретное) натуральное число (эта часть доказательства называется индукционным предположением);

в) доказательство того, что утверждение Р(п) является истинным и для, непосредственно следующего за к, числа к+1 (эта часть доказательства называется индукционным шагом и, как правило, основывается на индукционном предположении).

Часто в формулировке основных положений метода полной математической индукции пункты б) и в) не разделяются, т. е. доказательство осуществляется в два этапа. В предполагаемой формулировке второй этап разбит на индукционное предположение и индукционный шаг для того, чтобы при формулировке индукционного предположения в терминах доказываемого утверждения полнее осознать предпосылки, на основе которых осуществляется индукционный шаг.

Пример Докажем, используя метод полной математической индукции, что если М – п-элементное множество, то его булеан В(М) состоит из 2п элементов.

а) Базис индукции (п = 0). В этом случае М – пустое множество, т. е. единственным его подмножеством является пустое множество Æ. Предлагаемая в утверждении формула при п = 0 также дает 1 (20 = 1).

б) Индукционное предположение (п = к). Предположим, что число всех различных подмножеств любого к-элементного множества равно 2к.

в) Индукционный шаг (п = к+1). Докажем, основываясь на индукционном предположении, что число всех подмножеств (к+1)-элементного множества равно 2к+1.

Разобьем все подмножества множества М на две группы. К первой группе отнесем те подмножества этого множества, которые не содержат элемента ак+1; а во вторую группу включим те подмножества, которые этот элемент содержат. Очевидно, что каждое подмножество множества М попадет в одну и только одну из этих двух групп. По условию разбиения первая группа состоит только из подмножеств множества , причем каждое подмножество множества М / попадет в эту группу. Так как М / содержит к элементов, то (по индукционному предположению) первая группа состоит из 2к элементов. Нетрудно видеть, что между элементами первой и второй групп существует взаимно однозначное соответствие: если Х – подмножество первой группы, то ХÈ{ ак+1} - соответствующее ему подмножество из второй группы. Т. е. во второй группе также 2к подмножеств множества М. Следовательно, число всех подмножеств множества М равно 2к + 2к = 2к+1. ÿ