Адаптивні апроксимації методу скінченних елементів для задач еластостатики (стр. 2 )

З інженерного погляду найбільш важливою характеристикою розв’язку цієї задачі є коефіцієнт інтенсивності напружень (КІН), який може бути виражений за допомогою так званого -інтеграла (див. [1]). Зокрема, у [10] його взято у вигляді

, (7.4)

а також наведено “точне” значення цього інтеграла, обчислене на дуже густій адаптивній сітці з прямокутних скінченних елементів, .

Нарешті зазначимо, що хоча діаметр тріангуляцій протягом виконаного -адаптування зменшився лише вдвічі, за цей час похибки , та

(7.5)

зменшились щонайменше на порядок.

Таблиця 7.2.

Показники збіжності характеристик -адаптивних апроксимацій МСЕ для задачі еластостатики з тріщиною.

0	16	45	1,96076	0,03334	0,24052	62,693
1	26	67	2,04753	0,03130	0,25485	42,544
2	51	124	2,09758	0,02733	0,26512	23,978
3	105	242	2,13817	0,02563	0,27687	15,604
4	219	486	2,16596	0,02413	0,28765	13,015
5	353	766	2,18190	0,02353	0,29262	7,2582
6	612	1297	2,18899	0,02413	0,29410	4,5538
7	861	1806	2,19004	0,02435	0,29420	4,5591
8	1066	2233	2,19053	0,02443	0,29362	4,5563
9	1252	2611	2,19061	0,02443	0,29363	4,5559
10	1315	2740	2,19062	0,02445	0,29363	4,5557
11	1352	2819	2,19070	0,02459	0,29374	4,5553
12	1376	2869	2,19075	0,02451	0,29375	4,5556
13	1395	2908	2,19076	0,02451	0,29375	4,5556
14	1410	2939	2,19077	0,02451	0,29375	4,5556

8. Висновки.

Для задач еластостатики запропоновано -адаптивну схему МСЕ, яка використовує недорогі апостеріорні індикатори похибки апроксимації зміщень на кожному скінченному елементі, обчислені в природній для задачі енергетичній нормі. Теоретичний фундамент цієї схеми ґрунтується на аналізі нев’язок рівнянь рівноваги.

Ефективність запропонованої методики підтверджена числовими результатами розв’язування модельної задачі.

ЛІТЕРАТУРА

1. , Елементи теорії пластичності та міцності. Львів: Світ, 1999.

2. , , Піскозуб О. Й., Адаптивна стабілізація чисельних розв’язків варіаційних задач міграції домішок // Вісник Львів. ун-ту. Сер. мех.-мат. 1998. Вип. 50. С. 127-130.

3. , Регуляризація чисельних розв’язків варіаційних задач міграції домішок: стабілізуюча схема Дугласа-Ванга // Волин. матем. вісн. 1998. Вип. 5. С. 66-70.

4. , Регуляризація чисельних розв’язків варіаційних задач міграції домішок: h-адаптивний метод скінченних елементів. Частина 1 // Вісник Львів. ун-ту. Сер. прикл. матем. інформ. 2002. Вип. 5. С. .

5. Метод конечных элементов для эллиптических задач. М.: Мир, 1980.

6. Babuška I., Rheinboldt W. C. Error estimates for adaptive finite element computations // SIAM J. Num. Anal. 19P. 736-754.

7. Eriksson K., Estep D., Hansbo P., Johnson C. Introduction to Adaptive Methods for Differential Equations // Acta Numerica. 1995. P. 159-333.

8. George P.-L., Borouchaki H. Delaunay Triangulation and Meshing. Application to Finite Elements. Paris: Hermes, 1998.

9. Johnson C. Numerical Solution of Partial Differential Equations by the Finite Element Method. Cambridge: Cambridge University Press, 1994.

10. Rannacher R., Suttmeier F.-T. A feed-back approach to error control in finite element methods: application to linear elasticity // Comp. Mech. 1997. Vol. 19. P. 434-446.

11. Verfürth R. A Review of A Posteriori Estimation and Adaptive Mesh-Refinement Techniques, Advances in Numerical Mathematics. New York, Stuttgart: Wiley/Teubner, 1996.

12. Zienkiewicz O. C., Zhu J. Z. A simple error estimator and adaptive procedure for practical engineering analysis // Int. J. Numer. Methods Engrg. 1987. Vol. 24. P. 337-357.

ADAPTIVE FINITE ELEMENT APPROXIMATIONS FOR ELASTICITY PROBLEM

H. Kvasnytsya, G. Shynkarenko

Ivan Franko National University of Lviv

Universytetska str, 1, Lviv, 79000, e-mail: *****@***

The objective of the present work is to propose adaptive finite element scheme for construction of approximate solutions of elastostatics variational problem in terms of displacements vector. Starting from the fixed class of approximations for displacements, suggested scheme allows refinement/coarsening strategies to recover an approximate solution with desired accuracy.

Theoretical basis of the scheme rests on analysis of error sources functional and relationships with the variational problem for error of Galerkin discretization. The approximate solution of last problem with application of bubble function spaces allows construction of cheap and convenient a posteriori estimators of FEM approximation error in energy norm.

Numerical experiment for 2D problems using piecewise quadratic approximation of displacements on triangular meshes show the performance of the suggested scheme.

Key words: finite element method, error sources functional, a posteriori error estimates

Стаття надійшла до редколегії дд. мм. рррр

Прийнята до друку

© 2002