Диофантовы приближения и их применение

Белорусский государственный университет

УТВЕРЖДАЮ

Декан механико-математического ф-та

________________

(подпись) ()

____________________

(дата утверждения)

Регистрационный № УД-______/баз.

ДИОФАНТОВЫ ПРИБЛИЖЕНИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ

Учебная программа для специальности

1Математика (по направлениям)

1математика (научно-производственная деятельность)

2011 г.

СОСТАВИТЕЛИ:

, главный научный сотрудник Института математики Национальной академии наук Беларуси, доктор физико-математических наук, профессор.

РЕЦЕНЗЕНТЫ:

– научный сотрудник отдела теории чисел Института математики НАН, кандидат физико-математических наук

РЕКОМЕНДОВАНА К УТВЕРЖДЕНИЮ:

Кафедрой высшей алгебры и защиты информации механико-математического факультета Белорусского государственного университета

(протокол от 01.01.2001 г.);

Учебно-методической комиссией механико-математического факультета Белорусского государственного университета

(протокол от 01.01.2001 г.);

Ответственный за выпуск:

Ответственный за редакцию:

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Целью преподавания курса «Диофантовы приближения и их применение» является знакомство учащихся с основами геометрии чисел и метрической теории диофантовых приближений.

Учебный курс предназначен для студентов студентов специальности 1«математика (научно-производственная деятельность)». Для понимания курса необходимо знание основ теории чисел, базового курса алгебры и функционального анализа.

Цели курса: ознакомить учащихся с основными результатами, лежащими в основе современной метрической теории диофантовых приближений, дать понятие о применении изложенных фактов.

Объем курса. Учебный курс рассчитан на 1 семестр общим объемом 68 часов, в том числе 34 часа лекций, 34 часа семинарских занятий.

Методика преподавания дисциплины строится на сочетании лекций (34 ч.) с семинарскими занятиями (34 ч.).

Примерный тематический план

Номер раздела, темы, занятия	Название раздела, темы, занятия; перечень изучаемых вопросов	Количество аудиторных часов
лекции	практические (семинарские) занятия	лабораторные занятия	управляемая самостоятельная работа студента
1	2	3	4	5	6
1.	Основы геометрии чисел. Теорема Лиувилля.	18
2.	Равномерное распределение.	12
3.	Метрическая теория диофантовых приближений.	16
4.	Многочлены и их свойства.	6
Итого	34/34	52

СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОГО МАТЕРИАЛА

Тема 1. Основы геометрии чисел. Теорема Лиувилля.

Основы геометрии чисел. Теоремы Минковского о выпуклом теле и о линейных формах. Теорема Минковского о последовательных минимумах. Теорема Лиувилля. Существование трансцендентных чисел. Числа Лиувилля и U-числа Левека. Задачи диофантовых приближений, решаемые с помощью принципа ящиков Дирихле.

Тема 2. Равномерное распределение.

Равномерное распределение последовательностей. Критерий Вейля. Количественные формы равномерного распределения. Метод Виноградова.

Тема 3. Метрическая теория диофантовых приближений.

Метрическая теория диофантовых приближений. Теорема Хинчина. Диофантовы приближения на параболе. Проблема Малера. Распределение алгебраических чисел.

Тема 4. Многочлены и их свойства.

Построение систем линейно-независимых многочленов с помощью теорем Минковского. Устойчивые многочлены и многочлены с заданным распределением корней.

ЛИТЕРАТУРА

ПО КУРСУ «ДИОФАНТОВЫ ПРИБЛИЖЕНИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ»

1. Касселс, Дж. в теорию диофантовых приближений. — М., 1961.

2. Диофантовы приближения. — М., 1983.

3. Нестеренко чисел. — М., 2008