Тема 10. Формула повної ймовірності. Формули Байєса

Тема 10. Формула повної ймовірності. Формули Байєса.

1. (А) У групі: а) 3 юнаки і 22 дівчини; б) 5 юнаків і 12 дівчат. На семінарі з політології першим викликали юнака. Яка ймовірність, що другим викличуть юнака? Дівчину? А якщо першою викликали дівчину?

2. (А) Страхова компанія ділить застрахованих на класи ризику: перший клас – малий ризик – 10% клієнтів, другий клас – середній ризик – 20% клієнтів, третій клас – високий ризик – 70% клієнтів. Ймовірність необхідності виплачувати страховку для першого класу дорівнює 0,02, для другого – 0,03, для третього – 0,05. Яка ймовірність, що навмання вибраний клієнт одержить страховку?

3. (А) Є три партії радіоламп, які нараховують відповідно 20, 30 і 50 штук. Ймовірності того, що радіолампа пропрацює визначений час, дорівнюють відповідно 0,7, 0,9 і 0,8. А) Яка ймовірність того, що навмання вибрана радіолампа із ста даних пропрацює визначений час? Б) Навмання вибрана лампа пропрацювала визначений час. Яка ймовірність того, що вона належить до першої партії?

4. (А) Із п’яти гвинтівок три – снайперські і дві – звичайні. З них навмання вибирають одну, і з неї проводять постріл. Ймовірність влучити зі снайперської гвинтівки дорівнює 0,95, а зі звичайної – 0,7. Постріл виявився влучним. Яка ймовірність, що він був зроблений із снайперської гвинтівки?

5. (А) 10 юнаків кидають дротики в мішень. Для п’яти з них ймовірність попадання дорівнює 0,6, для трьох інших – 0,5, для решти – 0,3. Дротик попав у мішень. Яка ймовірність, що його кинув хлопець першої групи?

6. (А) У тирі є п’ять гвинтівок, ймовірності попадання з яких відповідно дорівнюють 0,5, 0,6, 0,7, 0,8 і 0,9. З навмання взятої гвинтівки зроблено постріл. Яка ймовірність, що він дав промах?

7. (А) Одну і ту ж операцію виконують робітники III, IV і V розрядів. Робітники V розряду допускають 2% браку, робітники IV розряду – 3% браку, робітники III розряду – 5% браку. Знайти ймовірність того, що навмання вибраний робітник виготовив браковану деталь, якщо відомо, що серед 20 робітників цеху 4 робітників мають III розряд, 10 – IV розряд, решта – V розряд.

8. (А) Три сестри – Аліса, Марина та Олена – мають зобов’язання мити посуд. Аліса, як старша, виконує 40 % роботи, решту 60 % роботи Марина й Олена ділять порівну. Якщо миє посуд Аліса, ймовірність для неї розбити хоча б одну тарілку дорівнює 0,02. Для Марини й Олени ця ймовірність відповідно дорівнює 0,03 і 0,04. Батьки не знають, хто сьогодні мив посуд, але чули, що тарілка розбилась. Яка ймовірність, що посуд мила Аліса? Марина? Олена?

9. (Б) У першому ящику 6 білих і 4 чорні кулі, у другому – 7 білих і 3 чорні кулі, у третьому – 8 білих куль. З навмання взятого ящика взяли одну кулю. А) Яка ймовірність, що вона біла? Б) Чорна?

10. (Б) Є дві партії зошитів. У першій – 13 зошитів, у другій – 7 зошитів, причому у кожній партії по 5 зошитів у клітинку, решта – у лінійку. З навмання взятої партії взяли навмання один зошит. Яка ймовірність, що він у лінійку?

11. (Б) Студент прийшов на екзамен, вивчивши 25 білетів з 30. Яка ймовірність, що він здасть екзамен, якщо відповідає: а) першим? б) другим? в) третім?

12. (Б) З урни, в якій було 10 білих і 15 чорних кульок, навмання взяли одну, але невідомо, білу чи чорну. Яка ймовірність, що друга взята кулька виявиться білою?

13. (Б) Для проведення заліку з вищої математики викладач підготував 60 задач: 10 – з аналітичної геометрії, 20 – з диференціального числення, 25 – з інтегрального числення, 5 – на диференціальні рівняння. Для здачі заліку студент повинен розв’язати одержану задачу. Яка ймовірність, що студент одержить залік, якщо він знає розв’язання 8 задач з аналітичної геометрії, 15 – з диференціального числення, 20 – з інтегрального числення і 5 – на диференціальні рівняння?

14. (Б) Число вантажних машин, що проїжджають по ділянці шосе, де стоїть АЗС, відноситься до числа легкових, як 3:2. Ймовірність того, що вантажна машина буде заправлятися на АЗС, дорівнює 0,1, що легкова – 0,2. До АЗС під’їхала машина. Яка ймовірність, що вона вантажна?

15. (Б) У класі навчається 19 дівчат і 7 хлопців. Домашнє завдання не виконали 4 дівчини і 3 хлопців. Навмання викликаний учень відповів на питання з домашнього завдання. Яка ймовірність, що викликали хлопця?

16. (Б) В урні 50 кульок (чорних чи білих), причому число білих не може бути більше двох, і всі припущення про початковий склад урни (за кольором) рівноможливі. Навмання взяли п’ять, які виявились чорними. Знайти ймовірність того, що кульки, що залишилися в урні, також чорні.

17. (Б) У першій коробці лежить 2 чорні й 3 білі кулі, у другій – 3 чорні й 2 білі. З кожної коробки навмання взяли по одній кулі й поклали їх у третю коробку, де спочатку була 1 чорна й 4 білі кулі. Потім з третьої коробки навмання взяли одну кулю. Яка ймовірність, що вона чорна?

18. (Б) Деталі виготовляються на двох заводах. Об’єм продукції другого заводу в n разів більший за об’єм продукції першого. Доля браку на першому заводі – , на другому – . Навмання взята деталь виявилась бракованою. Яка ймовірність, що вона випущена на першому заводі? Обчислити при п = 3; р1 = 0,05; р2 = 0,03.

19. (Б) В урні лежать три кулі, які можуть бути білими або чорними. Всі чотири припущення про початковий склад урни рівноможливі. Чотири рази з урни виймали по одній кулі з поверненням, причому перша куля виявилася чорною, решта – білі. Знайти апостеріорні ймовірності різних складів урни.

20. (Б) У правій кишені – 3 жетони на метро й 4 монети по 50 коп., у лівій – 6 жетонів й 3 монети по 50 коп. З правої кишені в ліву переклали п’ять предметів. Яка ймовірність, що навмання взятий предмет з лівої кишені виявиться жетоном?

21. (Б) Викладач екзаменує незнайому йому групу по екзаменаційних білетах, що складаються з трьох питань. Він знає, що в попередню сесію в цій групі було 27 встигаючих студентів, з них 6 відмінників, і троє невстигаючих студентів. Викладач вважає, що відмінники зможуть відповісти на всі три питання з ймовірністю 80%, інші встигаючі студенти – з ймовірністю 60%, а невстигаючі – з ймовірністю 20%. Викликаний студент відповів на всі три питання білету. Яка ймовірність того, що він: а) відмінник? б) встигаючий студент? в) невстигаючий студент?

22. (Б) У кожній з трьох урн міститься по 30 кульок, причому білих кульок в першій урні – 30, у другій – 20, у третій – 14. З навмання вибраної урни беруть кульку, яка виявляється білою. Після повернення кульки в ту саму урну, з неї знову навмання беруть кульку, і вона знову виявляється білою. Яка ймовірність, що всі кульки діставались із третьої урни?

23. (Б) В урну, що містить 3 кульки, помістили чорну кульку, після чого з урни навмання взяли одну кульку. Знайти ймовірність того, що взята кулька виявиться чорною, якщо рівноможливі всі припущення про початковий склад урни (за кольором).

24. (Б) У першій урні міститься 12 кульок, серед яких 8 білих, в другій урні – 30 кульок, серед яких 5 білих. З кожної урни навмання взяли по одній кульці, а потім з цих двох кульок навмання беруть одну. Знайти ймовірність того, що взята кулька виявиться білою.

25. (Б) У магазин трикотажних виробів поставляється товар двома фабриками. Продукція фірмових виробів для першої фабрики становить 70%, для другої – 55%. Знайти долю поставок кожної фабрики, якщо ймовірність того, що навмання куплений в магазині трикотажний виріб буде фірмовим, дорівнює 0,64.

26. (В) У кожній з трьох урн міститься 12 чорних та 8 білих кульок. З першої навмання дістають одну кульку і перекладають у другу урну, після чого з другої урни навмання дістають одну кульку і перекладають у третю урну. Знайти ймовірність того, що кулька, яку навмання взяли з третьої урни, виявиться білою.

27. (В) На полиці 50 книжок. В 10 з них син намалював покемонів. Батько навмання бере три книги. Якщо хоча б в одній він знайде покемона – покарає сина. Ймовірність знайти покемона у книзі, якщо він там є, – 0,3. Яка ймовірність, що син буде покараний?

28. (В) У вазі було 6 однакових цукерок. Вася з’їв дві, в обгортки поклав папір і залишив у вазі. Його брат Коля взяв три цукерки (можливо, не всі справжні). Справжні з’їв, в усі три обгортки знову поклав папір і залишив у вазі. Після цього Вася взяв одну цукерку. А) Яка ймовірність, що вона справжня? Б) Цукерка виявилася несправжньою. Яка ймовірність, що Коля з’їв більше цукерок, ніж Вася?

29. (В) При переливанні крові потрібно враховувати групи крові донора й хворого. Людині з IV групою можна переливати кров будь-якої групи; з ІІ чи ІІІ групою можна переливати кров або цієї ж групи, або першої; людині з І групою – тільки кров І групи. Відомо, що серед населення 33,7 % мають І, 37,5 % – ІІ, 20,9 % – ІІІ і 7,9 % – ІV групу крові. Знайти ймовірність того, що: а) навмання вибраному хворому можна перелити кров навмання вибраного донора; б) переливання крові можна провести, якщо є 2 донора.

30. (В) У трьох корзинах лежать білі й чорні кулі. У першій – 2 білі й 3 чорні; у другій – 2 білі й 2 чорні; у третій – 3 білі й одна чорна. З першої корзини навмання взяли кулю й переклали її у другу корзину, після цього навмання взяту кулю з другої корзини переклали в третю і, нарешті, з третьої навмання взяту кулю переклали в першу корзину. А) Який склад куль першої корзини після таких перекладань найімовірніший? Б) Знайти ймовірність того, що склад усіх корзин не зміниться.

31. (В) Три гравці беруть участь у такому круговому змаганні: спочатку змагаються А і В, потім переможець грає з С, новий переможець грає з переможеним у попередній грі і т. д. Змагання закінчується після двох перемог підряд одного з гравців. А) Знайти ймовірність перемоги для кожного з гравців, якщо всі вони однаково майстерні. Б) Відомо, що першу партію виграв А. Знайти після цього ймовірність перемоги для кожного з гравців.