УДК 517.392
Поліноміальні квадратурні формули
обчислення регулярних інтегралів на дійсній осі
Лісіцина І. М.,
Одеський Національний університет ім. І. І. Мечникова
вул. Дворянська, 2, м. Одеса, 65014, e-mail: il@osmu.odessa.ua
Побудовано та визначено збіжність і оцінки швидкості збіжності поліноміальних квадратурних формул наближеного обчислення регулярних інтегралів на дійсній осі.
Ключові слова: поліноміальний, квадратурна формула, регулярний, інтеграл, дійсна вісь
1. Простори функцій
Нехай 
– вісь. Через 
, де 
– ціле невід’ємне число, 
, позначимо простір разів неперервно диференційованих на дійсній осі функцій 
, які можна записати у вигляді
, (1)
де функція 
. У цьому разі 
. Символом 
, 
, позначимо простір функцій 
, які можна записати у вигляді (1), де функція 
. Тут і далі простори 
, 
мають звичний сенс і звичайні норми.
Зазначимо, що в праці [1] побудовано поліноміальні квадратурні формули за поліномами Грегора [2] наближеного обчислення регулярних і сингулярних інтегралів на дійсній осі з оцінкою швидкості їхньої збіжності у просторі 
. У цій праці побудуємо поліноміальні квадратурні формули за системою функцій 
наближеного обчислення регулярних інтегралів на дійсній осі з оцінкою швидкості їхньої збіжності у просторах 
.
2. Обчислення регулярних інтегралів
Нехай функція 
і має вигляд
, (2)
де 
– дійсне число, а функція 
. Визначимо інтеграл
. (3)
Зазначимо, що в праці розглядаємо невласні інтеграли першого роду. Тому на підінтегральні функції накладемо такі умови, щоб інтеграли були абсолютно збіжними. Нехай
, 
– (4)
інтерполяційний багаточлен Лагранжа [3] функції по вузлах інтерполяції
, 
. (5)
Тоді квадратурна формула наближеного обчислення інтеграла (2) має вигляд
, (6)
де 
– коефіцієнти багаточлена Лагранжа (4) функції 
, а коефіцієнти 
квадратурної формули (6) визначені за формулою
(7)
де 
– ціле невід’ємне число, а 
. У цьому разі на підставі зображень (2), (3), (6) для похибки 
квадратурної формули (6) виконується
(8)
де 
– b-функція Ейлера. Із (8) на підставі результатів праці [3] випливає теорема.
Теорема 1. Нехай функція має вигляд (2), де 
. Якщо функція 
, то квадратурна формула (6) збігається до інтеграла (3) зі швидкістю 
. Якщо функція 
, то 
.
3. Обчислення регулярних інтегралів, залежних від параметра
Нехай функція 
має вигляд
, (9)
де 
– дійсні числа, а функція 
неперервна по обох змінних. Визначимо інтеграл
. (10)
Нехай
, 
(11)
інтерполяційний багаточлен Лагранжа за змінною 
функції по вузлах інтерполяції (5). Тоді квадратурна формула наближеного обчислення інтеграла (10) має вигляд
, (12)
де 
– коефіцієнти багаточлена Лагранжа (11) функції за змінною , а – коефіцієнти квадратурної формули (12), визначені з формули (7). Тоді 
є похибкою квадратурної формули (12) у кожній точці 
. У цьому разі на підставі зображень (9), (10), (12) виконується
(13)
Позначимо 
. Тоді з (13) випливає оцінка
. (14)
Величина 
є оцінкою похибки квадратурної формули (12) у просторі неперервних функцій. Якщо 
, то 
– це похибка квадратурної формули (12) у просторі 
. У цьому разі з (13) випливає
. (15)
Тоді з (14), (15) на підставі результатів праці [3] випливають, відповідно, такі твердження.
Теорема 2. Нехай функція має вигляд (9), де 
. Якщо функція 
за змінною 
рівномірно щодо змінної t і функція 
, за змінною t рівномірно щодо змінної x, то квадратурна формула (12) збігається у просторі С до інтеграла (10) зі швидкістю 
. Якщо функція за змінною x рівномірно щодо змінної t і функція 
за змінною t рівномірно щодо змінної x, то виконується оцінка 
.
Теорема 3. Якщо 
, то в умовах теореми 2 квадратурна формула (12) збігається у просторі до інтеграла (10) зі швидкістю 
, якщо функція 
, за змінною t, і зі швидкістю 
, якщо функція за змінною t.
Нехай функція 
і функція має вигляд (9), де , а функція неперервна по обох змінних. Обчислимо інтеграл
. (16)
Нехай
, 
– (17)
інтерполяційний багаточлен Лагранжа за змінною функції 
по вузлах інтерполяції (5). Оскільки функція 
за змінною t, то згідно з [3] 
зобразимо у вигляді
, 
. (18)
Тоді квадратурну формулу обчислення інтеграла (16) можна записати у вигляді
, (19)
де 
– коефіцієнти багаточлена Лагранжа (17) функції 
за змінною t, а – коефіцієнти квадратурної формули (19), визначені за формулою (7). Тоді 
, є похибкою квадратурної формули (19) в кожній точці . У цьому разі на підставі (9), (16), (19) виконується оцінка
. (20)
Позначимо 
. Тоді з (20) випливає
. (21)
Величина 
є оцінкою похибки квадратурної формули (19) у просторі неперервних функцій. Якщо 
, то 
– похибка квадратурної формули (19) у просторі . У цьому разі з (20) випливає
. (22)
Тепер із (21), (22) на підставі результатів [3] можна сформулювати твердження, аналогічні до теорем 2 і 3 щодо збіжності квадратурної формули (19), відповідно, у просторах С та .
Якщо 
, то квадратурна формула обчислення інтеграла (16) побудована на базі (18) і в цьому випадку вона має вигляд
,
де коефіцієнти 
визначені за формулами (18), а коефіцієнти – за формулою (7), у якій 
.
ЛІТЕРАТУРА
1. Дробно-рациональная аппроксимация сингулярных интегралов по действительной оси // Изв. вузов. Матем. 1976. №3. С. 43 –55
2. Jiri Gregor. O aprokimaci obrazu v hilbertove transformaci ortogonalnimi racionalnich lomenych funkci // Aplik. Matem. (Ceskoslovenska Akademic BFD). 1961. Sv. 6, N 3. S.161 – 244.
3. , Интерполяция функций на вещественной оси и приложения // Вісник Київ. ун-ту. Сер. фіз.-мат. наук. 1998. Вип. 2. С. 77-86.
Polinomial quadrature formulas of the calculation of regular integrals on a real axis
I. Lisitsyna, M. Tikhonenko
Mechnikov National University in Odessa
Dvoryanskaya str, 2, Odessa, 65014, e-mail: il@osmu.odessa.ua
The construction and substantiation of quadrature formulas of the approximated calculation of regular integrals on a real axis is made.
Key words: polinomial, quadrature formula, regular, integral, real axe
Стаття надійшла до редколегії дд. мм. рррр
Прийнята до друку
