Поліноміальні квадратурні формули обчислення регулярних інтегралів на дійсній осі

УДК 517.392

Поліноміальні квадратурні формули

обчислення регулярних інтегралів на дійсній осі

Лісіцина І. М.,

Одеський Національний університет ім. І. І. Мечникова

вул. Дворянська, 2, м. Одеса, 65014, e-mail: [e-mail]

Побудовано та визначено збіжність і оцінки швидкості збіжності поліноміальних квадратурних формул наближеного обчислення регулярних інтегралів на дійсній осі.

Ключові слова: поліноміальний, квадратурна формула, регулярний, інтеграл, дійсна вісь

1. Простори функцій

Нехай – вісь. Через , де  – ціле невід’ємне число, , позначимо простір разів неперервно диференційованих на дійсній осі функцій , які можна записати у вигляді

, (1)

де функція . У цьому разі . Символом , , позначимо простір функцій , які можна записати у вигляді (1), де функція . Тут і далі простори , мають звичний сенс і звичайні норми.

Зазначимо, що в праці [1] побудовано поліноміальні квадратурні формули за поліномами Грегора [2] наближеного обчислення регулярних і сингулярних інтегралів на дійсній осі з оцінкою швидкості їхньої збіжності у просторі . У цій праці побудуємо поліноміальні квадратурні формули за системою функцій наближеного обчислення регулярних інтегралів на дійсній осі з оцінкою швидкості їхньої збіжності у просторах .

2. Обчислення регулярних інтегралів

Нехай функція і має вигляд

, (2)

де  – дійсне число, а функція . Визначимо інтеграл

. (3)

Зазначимо, що в праці розглядаємо невласні інтеграли першого роду. Тому на підінтегральні функції накладемо такі умови, щоб інтеграли були абсолютно збіжними. Нехай

,  – (4)

інтерполяційний багаточлен Лагранжа [3] функції по вузлах інтерполяції

, . (5)

Тоді квадратурна формула наближеного обчислення інтеграла (2) має вигляд

, (6)

де  – коефіцієнти багаточлена Лагранжа (4) функції , а коефіцієнти квадратурної формули (6) визначені за формулою

(7)

де  – ціле невід’ємне число, а . У цьому разі на підставі зображень (2), (3), (6) для похибки квадратурної формули (6) виконується

(8)

де  – b-функція Ейлера. Із (8) на підставі результатів праці [3] випливає теорема.

Теорема 1. Нехай функція має вигляд (2), де . Якщо функція , то квадратурна формула (6) збігається до інтеграла (3) зі швидкістю . Якщо функція , то .

3. Обчислення регулярних інтегралів, залежних від параметра

Нехай функція має вигляд

, (9)

де  – дійсні числа, а функція неперервна по обох змінних. Визначимо інтеграл

. (10)

Нехай

, (11)

інтерполяційний багаточлен Лагранжа за змінною функції по вузлах інтерполяції (5). Тоді квадратурна формула наближеного обчислення інтеграла (10) має вигляд

, (12)

де  – коефіцієнти багаточлена Лагранжа (11) функції за змінною , а  – коефіцієнти квадратурної формули (12), визначені з формули (7). Тоді є похибкою квадратурної формули (12) у кожній точці . У цьому разі на підставі зображень (9), (10), (12) виконується

(13)

Позначимо . Тоді з (13) випливає оцінка

. (14)

Величина є оцінкою похибки квадратурної формули (12) у просторі неперервних функцій. Якщо , то  – це похибка квадратурної формули (12) у просторі . У цьому разі з (13) випливає

. (15)

Тоді з (14), (15) на підставі результатів праці [3] випливають, відповідно, такі твердження.

Теорема 2. Нехай функція має вигляд (9), де . Якщо функція за змінною рівномірно щодо змінної t і функція , за змінною t рівномірно щодо змінної x, то квадратурна формула (12) збігається у просторі С до інтеграла (10) зі швидкістю . Якщо функція за змінною x рівномірно щодо змінної t і функція за змінною t рівномірно щодо змінної x, то виконується оцінка .

Теорема 3. Якщо , то в умовах теореми 2 квадратурна формула (12) збігається у просторі до інтеграла (10) зі швидкістю , якщо функція , за змінною t, і зі швидкістю , якщо функція за змінною t.

Нехай функція і функція має вигляд (9), де , а функція неперервна по обох змінних. Обчислимо інтеграл

. (16)

Нехай

,  – (17)

інтерполяційний багаточлен Лагранжа за змінною функції по вузлах інтерполяції (5). Оскільки функція за змінною t, то згідно з [3] зобразимо у вигляді

, . (18)

Тоді квадратурну формулу обчислення інтеграла (16) можна записати у вигляді

, (19)

де  – коефіцієнти багаточлена Лагранжа (17) функції за змінною t, а  – коефіцієнти квадратурної формули (19), визначені за формулою (7). Тоді , є похибкою квадратурної формули (19) в кожній точці . У цьому разі на підставі (9), (16), (19) виконується оцінка

. (20)

Позначимо . Тоді з (20) випливає

. (21)

Величина є оцінкою похибки квадратурної формули (19) у просторі неперервних функцій. Якщо , то  – похибка квадратурної формули (19) у просторі . У цьому разі з (20) випливає

. (22)

Тепер із (21), (22) на підставі результатів [3] можна сформулювати твердження, аналогічні до теорем 2 і 3 щодо збіжності квадратурної формули (19), відповідно, у просторах С та .

Якщо , то квадратурна формула обчислення інтеграла (16) побудована на базі (18) і в цьому випадку вона має вигляд

,

де коефіцієнти визначені за формулами (18), а коефіцієнти  – за формулою (7), у якій .

ЛІТЕРАТУРА

1. Дробно-рациональная аппроксимация сингулярных интегралов по действительной оси // Изв. вузов. Матем. 1976. №3. С. 43 –55

2. Jiri Gregor. O aprokimaci obrazu v hilbertove transformaci ortogonalnimi racionalnich lomenych funkci // Aplik. Matem. (Ceskoslovenska Akademic BFD). 1961. Sv. 6, N 3. S.161 – 244.

3. , Интерполяция функций на вещественной оси и приложения // Вісник Київ. ун-ту. Сер. фіз.-мат. наук. 1998. Вип. 2. С. 77-86.

Polinomial quadrature formulas of the calculation of regular integrals on a real axis

I. Lisitsyna, M. Tikhonenko

Mechnikov National University in Odessa

Dvoryanskaya str, 2, Odessa, 65014, e-mail: [e-mail]

The construction and substantiation of quadrature formulas of the approximated calculation of regular integrals on a real axis is made.

Key words: polinomial, quadrature formula, regular, integral, real axe

Стаття надійшла до редколегії дд. мм. рррр

Прийнята до друку