Методические рекомендации Форма
и указания Ф СО ПГУ 7.18.2/05
 |
Министерство образования и науки Республики Казахстан
Павлодарский государственный университет им. С. Торайгырова
Кафедра алгебры и математического анализа
Методические рекомендации и указания
по изучению дисциплины «Теория функции комплексного переменного»
для студентов специальности 050601 - Математика
Павлодар
Лист утверждения к Форм
методическим рекомендациям Ф СО ПГУ 7.18.1/05
и указаниям
УТВЕРЖДАЮ
Декан ФФМиИТ
__________
«___»_____________200_г.
| |
Составитель: к. ф.-м. н., профессор _________
Кафедра алгебры и математического анализа
Методические рекомендации и указания
по изучению дисциплины «Теория функции комплексного переменного»
для студентов специальности 050601 - Математика
Рекомендовано на заседании кафедры АиМА
«_____»______________200__г., протокол №__
Заведующий кафедрой
Одобрено УМС факультета физики, математики и информационных технологий
«____»______________200__г., протокол №____
Председатель МС
Методическое руководство по изучению теоретического материала
Изучение учебного материала лекций №1 и 2.
Комплексное число определяется как число представимое в виде: 
. Здесь а и b действительные числа. Они соответственно называются действительной и мнимой частью числа а обозначаются символами: 
,
. Число i называется мнимой единицей и, по определению i2 считается равной -1. Число 
называется чисто мнимым. Например, если дано число 
, то его действительная часть 
, а мнимая часть 
(но не -3i). Чисто мнимая часть этого числа -3i (не путать с мнимой частью числа!). Геометрическим образом комплексного числа является точка декартовой плоскости. Основанием для такого изображения является тот факт, что каждое комплексное число так же как и точка декартовой плоскости определяется парой упорядоченных действительных чисел. Однако наиболее наглядным является изображение комплексного числа радиусом вектором точки комплексной плоскости (см. рис.1). Здесь радиус-вектор
Рис.1.
точки z=x+iy представляется в виде суммы двух векторов 1х и iy. (1 рассматривается как единичный вектор действительной оси). Далее, геометрически смысл операций сложение, умножение, вычитание и деление см. (1) Гл.1, п.1, 2. Предварительно надо освоить понятия модуля, главного и полного значений аргумента. Их геометрическое изображение показано на рис.1. Чтобы закрепить освоенные знания необходимо качественно выполнить задания практических заданий № 1 и 2. Чтобы получить полное представление о геометрическом смысле комплексного числа надо «видеть» изображение комплексных чисел на единичной сфере центром в начале координат и понять единственность бесконечно удаленной точки комплексной плоскости. Надо отличать конечную комплексную плоскость от компакта. При стереографической проекции образом бесконечно удаленной точки является северный полюс, конечной комплексной плоскости единичная сфера, проколотая в северном полюсе, а компакта полная сфера. Качественное освоение этих фактов достигается осознанным решением задании практического занятия № 2.
Лекция №1
В результате изучения учебного материала 1-ой лекции студенты должны знать следующие понятия и утверждения:
- мнимая единица……………………………………………………………..0,2
- комплексное число (в последующем число) ………………………………0,2
- Алгебраическая форма числа. Элементы числа в алгебраической форме:
- мнимая часть числа ………………………………………………………...0,2
- действительная часть числа ……………………………………………… 0,2
- чисто мнимое комплексное число (не путать с мнимой частью числа) ..0,2
- геометрический образ числа в декартовой плоскости ……………………1
- геометрический смысл арифметических операций над комплексными числами………………………………………………………………………………...2
В результате изучения учебного материала этой лекции студенты должны уметь:
- вычислять степени мнимой единицы (11.2.01)……………………………1
- записать число в алгебраической форме. Находить элементы числа заданного в алгебраической форме:
определять основные элементы комплексного числа, заданного в алгебраической форме, найти изображение числа на декартовой и комплексной плоскости, а также выполнять арифметические операции над ними и построить изображение этих операций на комплексной плоскости. Навыки работы над комплексными числами отработать на решениях примеров:11.1.02 – 1.1.07…………………………………………………… 5
Итого ……………………………………………………………………10
Лекция №2
В результате изучения учебного материала 2-ой лекции студенты должны знать следующие понятия и утверждения:
- Тригонометрическая форма числа. Элементы числа в этой форме:
- геометрический образ числа в комплексной плоскости……………………..1
- модуль числа …………………………………………………………………...0,2
- главное значение аргумента числа ……………………………………………0,5
- полное значение аргумента числа …………………………………………….0,1
- теорема о модуле и аргументе числа и ее доказательство …………… ……0,2
- числовая сфера ………………………………………………………………….1
- географические координаты точки числовой сферы ………………………….1 - стереографическая проекция комплексной плоскости на числовую сферу и наоборот ………………………………………………………………………….1
- доказательство формулы перехода от полярных координат точки на комплексной плоскости в географические координаты на числовой сфере………….0,5
- бесконечно удаленная точка комплексной плоскости и ее образ на числовой сфере ……………………………………………………………………………………….0,2
- понятие конечной комплексной плоскости и ее образ на числовой сфере …0,2
- понятие компакта и ее образ на числовой сфере ………………………………0,1
N iy
A Сz
0 x
S
В результате изучения учебного материала 2-ой лекции студенты должны уметь:
- Находить элементы числа, заданного в тригонометрической форме:
- модуль комплексного числа
- главное значение аргумента;
- полное значение аргумента;
- приводить число в тригонометрическую форму;
- находить действительную степень числа;
- найти значения корня n-ой степени из комплексного числа;
- находить образ числа в комплексной плоскости;
- найти географические координаты числа;
- записывать множество точек комплексной плоскости через
неравенства, то же на числовой сфере;
- найти стереографическую проекцию множества комплексной плоскости на числовую сферу и наоборот;
- операций над бесконечностью;
Навыки работы над комплексными числами отработать на решениях примеров: 11.1.04,11.1. 06, 11.1.07, 11.1.08-11.1.14………………………….4
Итого ………………………………………………………………10
Литература: (1) Гл.1, п. 1, 2, стр. 15-Гл. 1, п. 1-4, стр. 13-24.
Изучение учебного материала лекций № 3, 4
Одна функция комплексной переменной однозначно определяется системой двух действительных функции от двух действительных аргументов. Например, функция w = z2 на конечной комплексной плоскости однозначно определяет систему двух действительных функции от двух действительных аргументов: 
и наоборот.
Это позволяет многие свойства функции от двух действительных переменных без изменения перенести на функцию комплексной переменной. При определении производной следует обратить особое внимание на геометрически смысл ее модуля и аргумента. Ибо оно приводит к понятию конформного отображения, которое в последующем имеет практическое приложение. При исследовании последовательности функций необходимо подробно остановиться на ее равномерную сходимость. Надо помнить, что при равномерной сходимости многие свойства ее элементов переносится на предельную функцию.
Производная функции комплексной переменной определяется по алгоритму построения производной функции действительной переменной. Это позволяет исследовать производную по отработанной для действительной функции структуре. Однако геометрическая суть комплексных чисел вносит существенные коррективы в понятие производной комплексной функции, а именно зависимость существования производной от структуры множества, на котором определена функция. Это требует определенного ограничения. Таким ограничением является требование определения функции в области, т. е. на связном открытом множестве. Функция, определенная в области и имеющая производную в каждой ее точке называется аналитической в этой области. Целью данного курса является исследование таких функций. Аналитическая функция характеризуется тем, что ее действительная и мнимая части являются взаимно сопряженными гармоническими функциями двух действительных переменных. Это позволяет восстановить аналитическую функцию по ее действительной или мнимой части.
Лекция №3
В результате изучения учебного материала 3-ей лекции студенты должны знать:
- определение предела последовательности комплексных чисел…………………0,2
- критерии сходимости числовой последовательности (Коши)…………………...0,2
- существование предела ограниченной последовательности…………………….0,2
- понятие области…………………………………………………………………….0,2
- понятие линии Жордана……………………………………………………………0,2
- определение функции комплексного переменного как отображение множества одной комплексной плоскости на множество другой комплексной плоскости………….0,5
- эквивалентность задания одной комплексной функции, заданию системы двух действительных функции от двух действительных аргументов………………………….0,5
- предел и непрерывность функции ………………………………………………..0,5
- производную функции комплексной переменной………………………………0,5
- геометрически смысл модуля и аргумента производной………………………..1
- понятие конформного отображения………………………………………………1
- основные проблемы теории конформных отображений………………………...1
В результате изучения учебного материала 3-ей лекции студенты должны уметь:
- определять действительную и мнимую части функции;
-определять область определения и область изменения функции;
- находить предел функции;
- исследовать функцию на непрерывность;
- найти производную функции по известной действительной или мнимой части;
- установить аналитичность функции;
- определить область аналитичности.
Перечисленные навыки отрабатываются на решениях примеров:
21.1.01 – 21.3.01; …………………………………………………………………..….4 балла
Итого:………………………………………………………………………….10 баллов.
Лекция №4
В результате изучения учебного материала 4-ой лекции студенты должны знать:
- линейную и дробно-линейную функцию и отображения, выполняемые ими…1
- правила дифференцирования…………………………………………………..0,5
- понятие аналитической функции………………………………………………0,5
- условия Коши-Римана…………………………………………………………..0,5
- гармонические и гармонически сопряженные функции……………………...0,5
- правила дифференцирования по известной действительной или мнимой части функции……………………………………………………………………………………0,5
- гармоническая сопряженность действительной и мнимой части аналитической функции…………………………………………………………………………………….0,5.
- восстановление аналитической функции по ее действительной или мнимой части…………………………………………………………………………………………1
В результате изучения учебного материала 4-ой лекции студенты должны уметь:
- найти конформное отображение, выполняемое линейной или дробно-линейной функцией;
- найти неподвижные точки дробно-линейного отображения;
- исследовать отображения посредством дробно-линейной функции;
- найти конформное отображение областей, ограниченных окружностями или прямыми друг в друга.
Перечисленные навыки отрабатываются на решениях примеров:
22.1.01 – 22.1.03; 23.1.02 – 23.1.04;23.1.09 – 23.1.23………………………………..5 баллов
Итого:…………………………………………………………………………10 баллов.
Литература: (1) Гл. 2, п.1,4,5; Гл. 3,п. 1.
Изучение учебного материала лекций № 5, 6, 7, 8.
Степенной ряд характеризуется тем, что его областью сходимости является круг. Определение центра и радиуса сходимости этого круга является здесь основной проблемой. Изучение трансцендентных функции следует начинать с определения области сходимости степных рядов, их определяющих. Это позволяет получить формулу Эйлера, устанавливающую зависимость тригонометрических функций от показательной функции. Логарифмическая функция определяется как функция обратная показательной функции. Отсюда следует зависимость обратных тригонометрических функций от логарифмической функции. Рассмотрение однозначных ветвей многозначных функции позволяет ввести понятие поверхности Римана, которая являются геометрическим образом таких функции.
Лекция №5
В результате изучения учебного материала 5-ой лекции студенты должны знать:
-структуру степенного ряда и его области сходимости…………………………1
-теорему об аналитичности суммы степенного ряда в его круге сходимости…2
- теорему о том, что продифференцированный ряд имеет ту же область сходимости, что и исходный ряд………………………………………………………………………...1
-что каждый степенной ряд является рядом Тейлора своей суммы……………..1
В результате изучения учебного материала 5-ой лекции студенты должны уметь:
- определять радиус и круг сходимости степенного ряда;
-определять область сходимости ряда, суммой которого является показательная функция;
- определение тригонометрических функции, как сумму их определяющих рядов;
- формулу Эйлера и ее вывод;
- следствия из формулы Эйлера;
Перечисленные навыки отрабатываются на решениях примеров:
31.1.01 – 31.2.02; ………………………………………………………………..5 баллов.
Итого:……………………………………………………………………10 баллов.
Лекция №6
В результате изучения учебного материала 6-ой лекции студенты должны знать:
- определение экспоненциальной функции и тригонометрических функций как сумму степенных рядов……………………………………………………………………1
- формулу Эйлера и ее следствия………………………………………………...1
- теорему сложения для экспоненциальной функции…………………………..1
- теоремы сложения для тригонометрических функций………………………..1
- основные тождества между тригонометрическими функциями и их доказательство……………………………………………………………………………..1
В результате изучения учебного материала 6-ой лекции студенты должны уметь:
- вычислять показательную функцию;
- вычислять тригонометрические функции;
- вычислят логарифм;
- вычислять обратные тригонометрические функций.
- Навыки вычисления основных элементарных функций отрабатываются в процессе решения примеров: 33.1.01 – 33.1.26. ……………………………………5 баллов.
Итого:………………………………………………………………………10 баллов.
Лекция №7
В результате изучения учебного материала 7-ой лекции студенты должны знать:
- однозначные ветви многозначной функции…………………………………….1
- определение логарифмической функции, как функцию, обратную
показательной……………………………………………………………………………. ..2
- отображение комплексной плоскости посредством показательной функции…2
В результате изучения учебного материала 7-ой лекции студенты должны уметь:
- вычислять комплексную степень комплексного числа;
- определять однозначные ветви логарифма и его область однолистности.
Навыки вычисления основных элементарных функций отрабатываются в процессе решения примеров: 33.1.01 – 33.1.17. ……………………………5 балов.
Итого:…………………………………………………………………………10 баллов.
Лекция №8
В результате изучения учебного материала 8-ой лекции студенты должны знать:
- однозначные ветви логарифмической функции………………………………..2
- определение обратных тригонометрических функций………………………..1
- зависимость обратных тригонометрических функций от логарифмической функции…………………………………………………………………………………….2.
В результате изучения учебного материала 8-ой лекции студенты должны уметь:
- определять однозначные ветви многозначной функции 
и область ее однолистности;
- определять однозначные ветви многозначной функции 
и область ее однолистности.
Навыки определения однозначной ветви многозначной фукции отрабатываются в процессе решения примеров:
33.1.18 – 33.1.26…………………………….. ……………………………5 балов.
Итого:………………………………………………………………………10 баллов.
Литература: (1) Гл.1, п.5; Гл.2, п.2, 3,
Изучение учебного материала лекций № 9, 10.
Интеграл от функции комплексного переменного выражается через криволинейный интеграл второго рода. Центральной теоремой теории аналитических функции является интегральная теорема Коши, которая является следствием теоремы о независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования. Интегральная формула Коши позволяет доказать разложимость аналитической функции в степенной ряд. Таким образом, мы приходим к исходному определению аналитической функции как суммы степенного ряда. При изучении этой темы необходимо обратить внимание на этот факт.
Лекция №9
В результате изучения учебного материала 9-ой лекции студенты должны знать:
- линию на комплексной плоскости следует рассматривать как результат непрерывного отображения на комплексную плоскость, сегмента 
числовой прямой. Такой подход позволяет записывать линию через ее параметрическое уравнение…….0,5.
- основные элементы линии (направление, начало, конец, замкнутая линия, положительное направление замкнутой линии Жордана)………………………………..0,5
- основные классы линий (справляемые, гладкие, Жордана и др.)……………….1
- определение интеграла по спрямляемой линии………………………………….1
- определение от функции комплексного переменного…………………………...1
- основные свойства интеграла ……………………………………………………..1
В результате изучения учебного материала 9-ой лекции студенты должны уметь:
- вычислять интегралы по гладкой линии
Навыки вычисления интеграла по замкнутому контуру отрабатываются в процессе решения примеров: 41.1.01, 41.1.02….. ……………………………5 балов.
Итого:………………………………………………………………………10 баллов.
Лекция №10
В результате изучения учебного материала 10-ой лекции студенты должны знать:
- интегральную теорему Коши………………………………………………………1
- независимость интеграла от аналитической функции от пути интегрирования..1
- интегральную теорему Коши по многосвязной области…………………………1.
- интегральную формулу Коши….…………………………………………………..1
- разложимость аналитической функции в степенной ряд………………………...1
В результате изучения учебного материала 10-ой лекции студенты должны уметь:
- вычислять интегралы по замкнутой линии Жордана, используя интегральную формулу Коши и формулы для коэффициентов степенного ряда.
Навыки вычисления интеграла по замкнутому контуру отрабатываются в процессе решения примеров: 42.1.03 – 41.3.03….. ……………………………5 балов.
Итого:………………………………………………………………………10 баллов.
Литература: Гл. 4, п. 1, 2, 3.
Изучение учебного материала лекций № 11, 12, 13.
Целью изучения учебных материалов этих лекции является получение эффективного приема вычисления интеграла по замкнутому контуру. Теоретической базой для получения этих методов является интегральная теорема Коши. Инструментом для построения методов вычисления интеграла по замкнутому контуру является ряд Лорана и теорема Лорана. Чтобы эффективно пользоваться этим инструментом предварительно вводится понятие изолированных особых точек аналитической функции однозначного характера и дается классификация таких точек. Выработать умение находить такие точки аналитической функции является одной из задач обучающихся. Это умение вырабатывается в процессе решения задач. Чтобы достичь поставленной цели вводится центральное понятие этой темы – вычет аналитической функции, который определяется как коэффициент ряда Лорана в окрестности изолированной особой точки при члене степени -1. Теперь поставленная задача решается основной теоремой о вычетах.
Лекция №11
В результате изучения учебного материала 11-ой лекции студенты должны знать:
- интегральную формулу Коши…………………………………………………1
- определение изолированной особой точки аналитической функции однозначного характера…………………………………………………………………………………1
- виды таких точек……………………………………………………………….1
- поведение аналитической функции в окрестности изолированной особой точки……………………………………………………………………………………...1
- структуру ряда Лорана в окрестности таких точек…………………………..1
В результате изучения учебного материала 11-ой лекции студенты должны уметь:
- разложить функцию в ряд Лорана в окрестности изолированной особой точки;
Навыки определения изолированной особой точки аналитической функции и разложения этой функции ряд Лорана в ее окрестности, отрабатываются в процессе решения примеров:
51.1.01 – 51.1.07…………………………..….. ……………………………5 балов.
Итого:………………………………………………………………………10 баллов.
Лекция №12
В результате изучения учебного материала 12-ой лекции студенты должны знать:
- определение вычета аналитической функции в особых точках…………………….3
- основную теорему о вычетах………….…………………………………………….....2
В результате изучения учебного материала 12-ой лекции студенты должны уметь:
- вычисление вычета аналитической функции в устранимой особой точке, в полюсе и, в некоторых случаях, в существенно особой точке.
Навыки вычисления вычета отрабатываются в процессе решения примеров:
61.1.01 – 61.1.04, 61.2.02 – 61.3.02…………..….. ……………………………5 балов.
Итого:………………………………………………………………………10 баллов.
Лекция №13
В результате изучения учебного материала 13-ой лекции студенты должны знать:
- методы вычисления интеграла от аналитической функции по замкнутому
контуру, используя основную теорему о вычетах…..…………………………….3.
разложить аналитическую функцию в ряд Лорана в окрестности таких точек…2.
В результате изучения учебного материала 13-ой лекции студенты должны уметь вычислять интеграл, применяя основную теорему о вычетах.
Навыки вычисления интеграла, используя основную теорему о вычетах, отрабатываются в процессе решения примеров:
62.1.01 – 62.1. 03……………………………………………………………….5 баллов
Итого:………………………………………………………………………10 баллов.
Литература: (1) Гл. 4, п. 2,3; Гл. 6, п.1, 2, 3, 4; Гл. 7, п.1, 2.
Изучение учебного материала лекций № 14, 15.
Основной целью этих лекций является ознакомление обучающихся приемам построения аналитической функции по ее элементам. Главным инструментом построения является понятие непосредственного аналитического продолжения. Через это понятие вводится определение аналитического продолжения аналитической функции, определенной в одной области на другую область, когда они имеют непустое пересечение. Когда эти области взаимно не пересекаются, аналитическое продолжение из одной области в другую достигается построением цепи непосредственных аналитических продолжений, соединяющих эти области. Чтобы упростить процесс аналитического продолжения вводится понятие элемента аналитического продолжения, где за области аналитического продолжения берутся круги, имеющие непустые пересечения. Здесь аналитическая функция рассматривается как сумма степенного ряда, областью сходимости которого является этот круг. Такой подход к построению аналитической функции позволяет выяснить геометрическую суть самой аналитической функции. Теоретической основой всей этой конструкции является теорема о единственности разложения аналитической функции в степенной ряд.
Лекция 14
В результате изучения учебного материала этих лекций обучающиеся должны знать:
- теорему о единственности разложения аналитической функции в степенной ряд…………………………………………………………………………………………..1.
- определение непосредственного аналитического продолжения ……………1.
- понятие цепи аналитического продолжения…………………………………..1
- аналитический элемент аналитического продолжения……………………….1
- область полной аналитичности функции………………………………………1
В результате изучения учебного материала этих лекций обучающиеся должны уметь:
- определять область полной аналитичности данной функции;
- построить аналитические элементы данной функции;
Навыки построения аналитического продолжения отрабатываются в процессе решения примеров:
72.1.01, 72.1.02……………………………………………………………….5 баллов
Итого:………………………………………………………………………10 баллов.
Лекция №15
В результате изучения учебного материала этой лекций обучающиеся должны знать методы построения многозначной аналитической функции по ее
элементам…………………………………………………………………………………..5.
В результате изучения учебного материала этой лекций обучающиеся должны уметь:
- определять область полной аналитичности данной функции;
- построить аналитические элементы данной функции;
- показать, что тригонометрические функции в комплексной плоскости есть аналитическое продолжение обычных круговых тригонометрических функций с действительной оси на всю комплексную плоскость.
Навыки построения аналитического продолжения отрабатываются в процессе решения примеров:
72.1.03, 72.1.05……………………………………………………………….5 баллов
Итого:………………………………………………………………………10 баллов.
Литература: (1)Гл. 10, п. 1, 2.
Методическое руководство по закреплению теоретического материала
(практическая часть материала)
Занятие №1 Действия над комплексными числами. Представление в тригонометрической форме. Решить примеры по задачнику (12): 11.1
Занятие №2 Геометрическое изображение комплексного числа и множества комплексных чисел. Решить примеры по задачнику (12): 11.1.08-11.01.14.
Занятие №3 Функций комплексной переменной. Решить примеры по задачнику (12): 21.1.
Занятие №4 Действительная и мнимая части аналитической функции. Восстановление аналитической функции по ее действительной или мнимой части. Решить примеры по задачнику (12): 22.1.01.-22.3.03.
Занятие №5 Числовые и функциональные ряды. Решить примеры по задачнику (12): 13.1
Занятие №6 Степенные ряды. Область сходимости степенных рядов. Решить примеры по задачнику (12): 31.1
Занятие №7 Основные трансцендентные функции. Формулы Эйлера. Решить примеры по задачнику (12): 33.1
Занятие №8 Однозначные ветви многозначных функции. Логарифмическая функция. Решить примеры по задачнику (12): 33.1.17-33.1.25.
Занятие №9 Интеграл от функции комплексного аргумента. Решить примеры по задачнику (12): 41.1
Занятие №10 Ряд Лорана. Решить примеры по задачнику (12): 51.1.01-51.51.2.01.
Занятие №11 Изолированные особые точи однозначного характера. аналитической функции Решить примеры по задачнику (12): 52.1.01, 52.1.02.
Занятие №12 Вычет аналитической функции. Вычисление вычета. Решить примеры по задачнику (12): 61.1
Занятие №13 Основная теорема о вычетах. Решить примеры по задачнику (12): 61.16
Занятие №14 Вычисление интеграла от аналитической функции по замкнутому контуру. Решить примеры по задачнику (12): 62.1.01-62.3.01.
Занятие №15 Аналитическое продолжение. Решить примеры по задачнику (12): 72.1.01,72.1.02.
Методическое указания к ним
Целью практических занятий и СРСП является качественное освоение теоретического материала соответствующих лекции. Поэтому прежде чем приступить к работе над заданиями практического занятия необходимо изучить теоретический материал по рекомендациям методического руководства к лекциям. Надо помнить, что знания и умения, которые должны быть приобретены в результате изучения лекционного курса, вырабатывается в процессе работы над заданиями практических занятий и самостоятельной работе под руководством преподавателя. Ниже приводится перечень лекции, на отработку теоретического материала, которых направлена работа на данных практических занятиях. Прежде чем приступить к решению задач практического задания необходимо изучить теоретически материал указанных лекции и при возникновении вопросов по теоретическому материалу надо обратиться преподавателю на занятиях СРСП, которые проводятся перед практическим занятием.
Занятия № 1, 2. Отрабатывается теоретически материал лекций № 1, 2 и формируется знания и умения, перечисленные в методическом руководстве к ним.
Занятия № 3, 4. Отрабатывается теоретически материал лекций № 3, 4 и формируется знания и умения, перечисленные в методическом руководстве к ним.
Занятия № 5, 6, 7, 8. Отрабатывается теоретически материал лекций № 5, 6, 7, 8 и формируется знания и умения, перечисленные в методическом руководстве к ним.
Занятия № 9. Отрабатывается теоретически материал лекций № 9, 10 и формируется знания и умения, перечисленные в методическом руководстве к ним.
Занятия № 10, 11, 12, 13. Отрабатывается теоретически материал лекций № 11, 12, 13 и формируется знания и умения, перечисленные в методическом руководстве к ним.
Занятия № 14, 15. Отрабатывается теоретически материал лекций № 14, 15 и формируется знания и умения, перечисленные в методическом руководстве к ним.
