Пространство заполнено зарядом с объемной плотностью

3.24и.

Пространство заполнено зарядом с объемной плотностью , где - положительные постоянные, r – расстояние от центра системы. Найти модуль напряженности электрического поля как функцию r. Исследовать полученное выражение при малых и больших r, т. е. при .

Дано: Решение:

Для решения задачи используем электростатическую теорему Гаусса:

. (1)

Так как очевидно, что модуль поля зависит только от расстояния до центра системы, т. е. E=E(r), то в качестве поверхности через которую вычисляется поток, выбираем концентрическую сферу радиуса r. Тогда поток поля через нее

. (2) Это левая часть уравнения (1).

Для нахождения правой части теоремы Гаусса (заряда/εо), подставляем в интеграл заданное выражение для плотности заряда ρ=ρ(r) и, учитывая, что при наличии радиальной симметрии в сферических координатах dV=4πr2dr, находим:

;

Подставляем левую (2) и правую части в теорему Гаусса (1):

Теперь исследуем найденное выражение.

а) При

б) При