Теория без - сильно конструктивных однородных моделей

УДК 510. 6

ТЕОРИЯ БЕЗ - СИЛЬНО КОНСТРУКТИВНЫХ

ОДНОРОДНЫХ МОДЕЛЕЙ

Канд. физ.-мат. наук

Доказано существование полной разрешимой теории без - сильно конструктивных однородных моделей.

Все обозначения и понятия взяты из /1, 2/.

ТЕОРЕМА 1. Существует полная разрешимая теория, не имеющая - сильно конструктивных однородных моделей.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Будем строить теорию следующей сигнатуры:

=<> где Ai, Dit , Bi - одноместные предикаты, Pit-пятиместный предикат, Qit - шестиместный предикат, Sit - восьмиместный предикат.

По шагам будем строить систему аксиом полной теорий таким образом, что любое однородное семейство типов этой теорий не будет - вычислимым семейством. То есть для всех портится функция , являющаяся 2 - предельно рекурсивной функцией, не перечисляет однородное семейство типов, из-за того, что какие-либо два типа p1, p2, из семейства, перечисляемого функцией с номером i, не будут иметь в этом семействе типов общего расширения.

Пусть - геделевская нумерация всех формул языка сигнатуры, K(i, x,y, z) - четырехместная универсальная функция Клини. Через Kt(i, x,y, z) будем обозначать функцию, которая определена и равна K(i, x,y, z), если значение K(i, x,y, z) вычисляется меньше чем за t шагов, в противном случае неопределена.

Через - обозначим множество формул где и Kt(i, x,y, s) – определено для и y = t, либо K(i, x,y+1,s) неопределена.

Определим несколько вспомогательных теорий, которые будут использоваться в дальнейшем. Теория является теорией следующей сигнатуры, где t - фиксированное число,

Через обозначим множество .

Для наглядности представим модель отношения как бесконечную во все стороны “шахматную доску”, где заштрихованные квадраты образуют отношение , а не заштрихованные квадраты - . Сторонами бесконечной “шахматной доски” являются множества, определяемые предикатами . Стороны каждого квадрата являются бесконечными множествами. Для каждого элемента из существуют бесконечно много элементов ИЗ , которые Qti - связаны, и бесконечно много элементов из , которые - связаны. Кроме того, выполняются следующие свойства:

Формальное описание нашей модели возможно, однако слишком громоздкое, поэтому мы это описание опускаем. Теорию, определенную этими схемами аксиом обозначим через .

Определим теорию. Ее аксиомы определяются из описания модели, которая изображена на рис.2

j j

 

i i

Рисунок 2.

Вся плоскость разбита на бесконечное число квадратов, где отношение Q определяет на ней раскраску типа шахматной доски.

На рис.2 изображены два соответствующих квадрата, которые выделены на рис.1 . Связи между множествами , , , следующие:

Для всех

Для любой пары <,>из существуют бесконечно много пар <,> из , которые S-связаны, и существуют бесконечно много пар < z2/,z3/ > которые не S связаны. Аналогичное свойство выполняется и для . Кроме того, выполняются условия:

где

, <> <>

Для любых <>, <> из и <> <> из , если , , то следует . Аналогичное условие выполняется и для . Полученная теория является полной разрешимой - категоричной теорией.

Положим

Теория является полной разрешимой - категоричной теорией.

Определим теории сигнатуры, <>, которые расширяют теорию следующим образом: предикат Q делится предикатами и на две бесконечные не пересекающие части. Более детально на рис.2 предикаты , можно представить как множества и и стороны множества , являются бесконечными множествами.

Для теории определим два расширения , которую будем обозначать как сигнатуры <> следующим образом: предикат дает разбиение предиката Р на две бесконечные части посредством предиката Q. Если , то для всех предикат имеет место, тогда и только тогда, когда существует такой, что имеет место предикат Р и между предикатами Р и имеется связь. Если тогда между Р и должно иметь место - связь.

Полученная теория также является полной разрешимой - категоричной теорией.

Определим теорию сигнатуры <>

Описание этой теории следующее: Если представить отношение как бесконечную

“шахматную доску” на рис.1, где выделяет заштрихованные квадраты, тогда каждый заштрихованный квадрат можно представить в свою очередь как бесконечную “шахматную доску”, где квадраты выделяются отношениями Q и . Отношение можно представить, как отношение, составленное из бесконечного множества отношений S и Q – квадратами. Отношение связывает между собой -квадраты.

Теория является полной разрешимой- категоричной теорией.

Переходим к изложению конструкции без - сильно конструктивных однородных моделей. На каждом шаге = <> будем определять значения функций дерево . На этих же шагах будем определять формулы ,.

Пусть <>, тогда определим = <>,

= <>,= <>

Шаг . Определим аксиомы теории для данного шага.

Для всех положим дерево и

Функция неопределена для всех .

Функция для всех .

Определим формулы

Обозначим через следующую формулу:

Шаг t=<i, n, s>

Во всех случаях, когда нет обращения к подшагу А, определяем следующее:

Для всех j¹i все функции оставляем изменений, . Формулы определяем равными формулам соответственно. Добавляем аксиомы, что предикаты эквивалентны предикатам соответственно.

Случай I. Пусть функция определена и =, =1.

Подслучай. а) Если для i существует по и k такие, что для имеет место:

то переходим к подшагу А.

Подслучай. б) Пусть цель С дерева . Ищем наименьшее число k такое, что частичный тип содержит формулу . Пусть для всех формула и для всех j£t таких, что .

Пусть -максимальный элемент цепи С и -такой шаг, что < и частичный тип содержал формулу для некоторых ; кроме того, на этом шаге t1 было проведено построение для i, t1 (т. е. ). Для всех таких, что частичные типы содержали формулу через - обозначим отличную от булеву комбинацию формул , , .

Пусть на шаге t частичный тип содержит формулу .

Подслучай а). Пусть , тогда получаем, что функция неопределена, неопределена; , .

Переходим к подшагу А.

Подслучай б). Пусть

Определим формулы

где <>

Положим

Функцию никак не доопределяем.

Определим аксиомы

Положим

,

где

,

Переходим к следующему шагу.

Подслучай в). Пусть

Все формулы и функции определяем как в подслучае б).

Аксиомы определим так

Дерево

где

; =

Переходим к следующему шагу.

Для всех полагаем равными соответственно . К множеству аксиом добавим аксиомы, что эквивалентны соответственно.

Переходим к следующему шагу.

Случай II. Если функция неопределена, то находим наименьшее такое число , что частичный тип содержит формулу для некоторых . Тогда определяем =, =1; оставляем без изменения, .

Определим аксиомы

=

Переходим к подшагу А.

Построенная теория Т, имеющая систему аксиом является полной разрешимой - стабильной теорией, допускает элиминацию кванторов. Это утверждение следует из того, что теория Т состоит из полных разрешимых теорий , где для = выполняется условие: для всех теории и определены на разных фрагментах и являются независимыми, и каждая теория имеет счетное число типов.

Покажем, что никакая однородная модель теории Т не является -сильно конструктивной однородной моделью. Предположим обратное, пусть М - сильно конструктивная однородная модель и –ее - сильная конструктивизация.

Пусть SМ

и - геделевская нумерация типов

=

где n = c(<>,<>)

Пусть -2- предельно рекурсивная функция такая, что

=

Пусть такое, что

Пусть - наименьшее такое число, что в типе от переменных содержится формула

Пусть - такие числа, что

Пусть - наименьшее число с таким свойством.

В силу однородности модели М существует наименьшее числа такие, что типы типы от переменных соответственно и и

и пусть - наименьший номер типа, который расширяет типы

и

Прежде всего, заметим, что функция не ограничена. Это легко видеть из определения нашей конструкции и того факта, что каждое значение принимается только конечное число раз, либо функция f на некотором значении стабилизируется. Заметим, что для всех после некоторого шага мы выйдем на цепь дерева , которая будет определять тип, расширением этого типа является тип . Если функция f не стабилизируется, то мы должны бесконечное число раз обращаться к значению . Если функция f стабилизируется, то нельзя провести конструкцию до конца. Так как - есть номер семейства полных типов, то конструкция не состоится. Противоречие - сильной конструктивности модели М.

СЛЕДСТВИЕ 3.2. Для любого существует полная разрешимая - стабильная теория, не имеющая - сильно конструктивных однородных моделей.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Используя идеи доказательств, можно построить теории сигнатуры с - местными предикатами, не имеющие - сильно конструктивных однородных моделей.

СЛЕДСТВИЕ 3.3. Для любого существует полная разрешимая теория, без - сильно конструктивных насыщенных и простых моделей.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Любая простая и насыщенная модель является также однородной.

Литература

1. Ершов нумераций. Наука, Москва,1977.

2. , Ершов модели. Новосибирск, Научная книга, 1999г.

3. Æåòïiñîâ ¼, Ò¯ñiïîâ Æ. Ìàòåìàòèêàëûº ëîãèêà. Òàðàç, ÒàðÃÓ. 2000æ.

4. Ò¯ñiïîâ Æ. Äèñêðåòòiê ìàòåìàòèêàà êiðiñïå. Òàðàç, ÒàðÃÓ. 2001æ.

Таразский Государственный университет им. , Тараз

ʶØÒI ÊÎÍÑÒÐÓÊÒÈÂÒIÊ ÌÎÄÅËÄÅÐI Æβ

ÒÎËÛ² ØÅØIÌÄI ÒÅÎÐÈß

ô.-ì.¹ûë.êàíä. Æ.À.Ò¾ñiïîâ

Á½ë ìàºàëàäà - ê¾øòi êîíñòðóêòèâòiê áiðòåê ìîäåëäåðäi» áîëìàéòûí òîëûº øåøiìäi òåîðèÿñû áàð åêåíi ä¸ëåëäåíãåí. - Åðøîâ èåðàðõèÿñûíû» åêiíøi ñàòûñû.

УДК 517.95

О РАВНОМЕРНОЙ ОЦЕНКЕ АСИМПТОТИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ

ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННОГО

ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ

Канд. физ.-мат. наук А. Буркитов

В статье «О равномерной оценке асимптотического решения задачи Коши для сингулярно возмущенного волнового уравнения вида

(1)

асимптотическое решение ищется в виде ряда

(2)

и для его коэффициентов получены равномерные оценки вида

Полученные результаты применяются в математике и в теории устойчивости.

Пусть - полуплоскость переменных В области рассмотрим следующее сингулярно возмущенное уравнение

(1)

c начальными условиями Коши

(2)

Асимптотическое решение задачи (1), (2) ищем в виде (см. /1/-/5/)

(3)

где

Цель настоящей работы заключается в получении равномерных оценок для и в зависимости от .

Основным результатом настоящей работы является:

ТЕОРЕМА. Пусть , т. е.

Тогда справедливы следующие оценки:

где

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Подставив правую часть равенства (3) в (1) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях относительно , соответственно получим:

(4)

(5)

Удовлетворив равенством (3) условиям (2) относительно начальных данных получим следующие рекуррентные соотношения

(6)

(7)

К начальным условиям (6), (7) добавляем и условие пограничного слоя

(8)

Решая задачу Коши для системы (4) имеем

(9)

где

(10)

Применяя формулу (9) последовательно для находим:

(11)

Поскольку

то

Тогда

Поэтому из первого уравнения (4) имеем, что:

(12)

Полагая

найдем решение системы (5):

(13)

где

(14)

Последовательно применяя рекуррентное соотношение к равенству (13) находим:

Отсюда

(14)

Поскольку

то функцию на основании формулы (11) выразим через и ее производных.

Из равенства

при имеем

(15)

Аналогично из соотношения

при следует

(16)

Следовательно,

Легко проверить тождество

то есть

(17)

Учитывая эти соотношения из равенства (11) получим:

Отсюда на основании равенства

следует

(18)

Следовательно,

(19)

Подставляя (19) в (14`) получим:

(20)

Поскольку , то из формулы (14`) при

(21)

На основании формулы (21) равенство (20) можно переписать в виде

(22)

Продолжая этот процесс нетрудно установить справедливость следующего равенства:

(23)

Далее переходим к оценке и

С учетом неравенство

(24)

Из соотношений (23) и (24) имеем:

где

Учитывая равенства

(25)

в силу соотношений (24), (25) из (11) находим

где

Теорема доказана.

Литература

1. , , Свешников уравнения. М., Издательство Московского университета, 1982, с.296

2. Асимптотические методы в теории сингулярно возмущенных интегро-дифференциальных систем. Фрунзе, Илим, 1972

3. Ломов возмущенных сингулярных возмущенных краевых задач, Алма-Ата, 1975, с.65

4. Касымов сингулярно возмущенные дифференциальные уравнения второго порядка. Алма-Ата, 1981

ÑÈÍÃÓËßÐ ÁµË²ÛͱÀÍ ÒųÄÅÓ ¶ØIÍ ÊÎØÈ ÅÑÅÁIÍI³ ÀÑÈÌÏÒÎÒÈÊÀËÛ² ØÅØIÌIÍI³ ÁIÐÊÅËÊI ÁÀ±ÀÑÛ ÒÓÐÀËÛ

Ô.-ì.¹ûë.êàíä. À.Áóðêèòîâ

Ì.È.Áàáàõàíîâ

Ñèíãóëÿð á½ëºûí¹àí òå»äåó ¾øií Êîøè åñåáiíi» àñèìïòîòèêàëûº øåøiìiíi» áiðêåëêi áà¹àñû òóðàëû ñòàòüÿäà

(1)

ò¾ðiíäåãi òå»äåó ºàðàëûï îíû» àñèìïòîòèêàëûº øåøiìi

ºàòàð ðåòiíäå ºàðàñòûðûëûï îíû» êîýôôèöèåíòòåði ¾øií

ê¼ðiíiñiíäåãi áà¹àëàð àëûíäû. Àëûí¹àí í¸òèæåëåð ìàòåìàòèêàäà æ¸íå ò½ðàºòûëûº òåîðèÿñûíäà æèi ºîëäàíûëàäû.