Реакцию системы на гармоническое воздействие любой частоты ω в показательной форме получают путем умножения на А(ω) при этой частоте амплитуды входного сигнала и добавления φ(ω) к его фазе (с учетом единиц измерения угла – радиан или градусов).
Частотные характеристики системы можно изменять желаемым образом с помощью специальных корректирующих звеньев (фильтров). Фильтром называется четырехполюсник, предназначенный для выделения из состава сложного входного сигнала частотных составляющих, расположенных в полосе пропускания, и подавления частотных составляющих, расположенных в полосе задерживания.
В зависимости от взаимного расположения полос пропускания и задерживания различают:
а б в г
а) фильтр низких частот (ФНЧ) с полосой пропускания от нуля до частоты wп;
б) фильтр верхних частот (ФВЧ) с полосой пропускания от частоты wп до бесконечности;
в) полосовой фильтр (ПФ) с полосой пропускания, заключенной между частотами w1 и w2;
г) заграждающий (режекторный) фильтр (РФ) с полосой задерживания, заключенной между частотами w1 и w2.
Рабочий диапазон частот фильтра определяется обычно на уровне 0,707 начального значения А0 при частоте, близкой к нулю.
2.3 Указания к работе
Используя лист Лаб_2 "Частотные характеристики фильтра" из книги LinCAD.xls и рассчитанные в предыдущей работе передаточные функции фильтра по выходам a, b, c, d относительно входа e, получить на ЭВМ АЧХ для каждой передаточной функции. Коэффициенты передаточной функции вводят в ячейки I5-K5 (числитель) и I6-K6 (знаменатель) Начальное и конечное значения частот указывают в ячейках I9-J9. Их подбирают экспериментально, так, чтобы значительное изменение АЧХ приходилось примерно на середину графика, а в левой и правой части графика АЧХ была горизонтальной (можно начать подбор с частот 0,01 и 100, масштаб логарифмический).
Найти для каждого типа фильтра полосы пропускания и задерживания, построив на диаграмме воображаемую линию на уровне 0,707 начального (наибольшего) значения. Определить, какому типу фильтра соответствует каждая передаточная функция и график. Значения частот для конкретной точки получают наведением курсора на заданную точку кривой.
2.4 Методический пример
Структурная схема фильтра (рисунок 2.1).
Рисунок 2.1
Передаточная функция фильтра по выходу a относительно входа e
.
Полученные амплитудная и фазовая частотные характеристики соответствуют заграждающему фильтру (РФ) с полосой задерживания от частоты ω1 = 0,275 рад/с, до частоты ω2 = 1,738 рад/с (рисунок 2.2). Начальное значение АЧХ равно bm/an = 1,6/1 = 1,6, конечное b0/a0 = 3,2/2 = 1,6.
1,738 0,275
Рисунок 2.2
2.5 Содержание отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать название, цель работы, структурную схему фильтра с обозначениями входа и выходов, затем для каждого типа фильтра – передаточную функцию после подстановки численных значений и полученную амплитудно-частотную характеристику с измеренными значениями крайних частот полосы пропускания или задерживания, тип фильтра.
К защите знать все виды частотных характеристик, их смысл, методы вычисления и построения, формулировки, типы фильтров и вид их характеристик. Уяснить связь вида передаточной функции и соответствующей амплитудной частотной характеристики, т. е. уметь по виду передаточной функции построить АЧХ фильтра в соответствующем масштабе. Уметь определить с помощью АЧХ выходной сигнал по входному для заданной частоты и типа фильтра. Объяснить названия полос пропускания и задерживания.
3 Исследование устойчивости по критерию Михайлова
3.1 Цель работы
Целью работы является изучение методов оценки устойчивости САР, исследование устойчивости системы с помощью частотного критерия Михайлова.
3.2 Общие сведения
Устойчивость – это свойство системы возвращаться в исходное состояние равновесия после снятия воздействия, выведшего систему из этого состояния.
Признаки (условия) устойчивости линейной системы:
а) физический – система устойчива, если свободная составляющая yсв(t) переходного процесса с увеличением времени стремится к нулю, неустойчива – если она стремится к бесконечности, и нейтральна, если она стремится к некоторой постоянной величине;
б) математический – для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения имели отрицательную действительную часть (все полюса системы были левыми). Система находится на апериодической границе устойчивости, если при остальных левых полюсах имеет один нулевой, и на колебательной (периодической) границе устойчивости, если при остальных левых полюсах имеет пару чисто мнимых полюсов. Характеристическое уравнение образуется из знаменателя передаточной функции системы путем его приравнивания нулю D(s) = 0.
При невозможности вычислить значения корней используют косвенные признаки их положения относительно мнимой оси – критерии устойчивости. Алгебраические критерии (Гурвица, Рауса) оценивают устойчивость системы по значениям коэффициентов характеристического уравнения, частотные критерии (Михайлова, Найквиста) – по виду частотных характеристик системы.
Критерий Михайлова основан на исследовании характеристической функции D(jω) = U(ω) + jV(ω), полученной из характеристического многочлена подстановкой s = jω.
Основная формулировка (форма 1): система n-го порядка устойчива, если кривая Михайлова, начинаясь при w=0 на действительной положительной полуоси, проходит при изменении частоты w от нуля до плюс бесконечности последовательно против часовой стрелки n квадрантов комплексной плоскости.
Дополнительная формулировка (следствие или форма 2): система n-го порядка устойчива, если четная U(w) и нечетная V(w) функции при изменении частоты w от нуля до плюс бесконечности обращаются в нуль поочередно n раз, начиная с нечетной функции, т. е. их корни перемежаются.
3.3 Указания к работе
Предварительно следует найти главную передаточную функцию системы (рисунок 1) Wyr(s) по выходу y относительно входа r с учетом параметров блоков 5 и 6 – сначала в общем виде, затем с численными значениями данных по своему варианту (считать k ос = 1).
Используя лист Лаб_3 "Критерий Михайлова" из книги LinCAD.xls, получить кривую Михайлова на комплексной плоскости (первая форма) и графики четной U(ω) и нечетной V(ω) функций (вторая форма) критерия Михайлова. Коэффициенты характеристического полинома (знаменателя ПФ) записывают в ячейки C5-C9 последовательно, начиная со старшего коэффициента, включая и нулевые.
Граничное значение частоты указывают в ячейке A10. Кривая Михайлова представляет собой раскручивающуюся спираль, уходящую в бесконечность. Поэтому диапазон частот следует подобрать экспериментально, от нуля до значения частоты, при котором кривая последний раз пересекает какую-либо ось, для более точного определения координат пересечения действительной и мнимой осей и желаемого вида кривой Михайлова.
3.4 Методический пример
Передаточная функция блока 5 из его дифференциального уравнения равна
.
Передаточная функция замкнутой системы (рисунок 3.1)
Рисунок 3.1
равна
.
Характеристическое уравнение САР
D(s) = s4 + 2s3 + 3s2 + 4s + 5 = 0.
Годограф характеристической функции D(jω) (рисунок 3.2)
Рисунок 3.2
Система неустойчива, поскольку кривая Михайлова, начинаясь на положительной действительной оси, не проходит последовательно против часовой стрелки n квадрантов комплексной плоскости, где n=4 – порядок системы.
Графики четной U(ω) и нечетной V(ω) функций (рисунок 3.3).
Рисунок 3.3
Система неустойчива, поскольку графики четной U(ω) и нечетной V(ω) функций, начинаясь с V(ω) = 0, не пересекают при возрастании частоты ось частот поочередно.
3.5 Содержание отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать название, цель работы, структурную схему и главную передаточную функцию замкнутой системы в общем виде и после подстановки численных значений, характеристическое уравнение системы, полученные на ЭВМ диаграммы кривой Михайлова и графиков четной и нечетной функций с заключением об устойчивости системы для каждого вида графиков.
К защите знать физический и математический признаки устойчивости систем, названия основных критериев устойчивости, формулировку критерия Михайлова и его следствия, методику построения кривой Михайлова вручную.
4 Выбор параметров регулятора методом D-разбиения
4.1 Цель работы
Целью работы является изучение методов проектирования систем с достижением заданных параметров устойчивости, в частности, метода D-разбиения по одному параметру.
4.2 Общие сведения
Метод используется при синтезе систем для определения допустимых по условиям устойчивости пределов изменения некоторых параметров системы – обычно коэффициента усиления k или постоянной времени T регулятора.
Процесс построения в пространстве параметров системы областей с разным числом правых корней характеристического уравнения называется D-разбиением.
Областью устойчивости D(0) называют область в пространстве изменяемых параметров, каждой точке которой соответствуют только левые корни характеристического уравнения. Остальные D-области отличаются числом правых корней характеристического уравнения и обозначаются соответственно D(1) – область с одним правым полюсом, D(2) – с двумя и т. д.
Граница любой D-области является отображением мнимой оси плоскости корней, она соответствует совокупности значений параметров, при которых хотя бы один корень характеристического уравнения системы находится на мнимой оси.
Если система в пространстве всех своих параметров не имеет области устойчивости, она является структурно неустойчивой. На практике используют D-разбиение по одному параметру (результатом является отрезок на условной плоскости) и по двум параметрам (результатом является плоскость).
В случае D-разбиения по одному параметру все построения производят, изменяя значения одного параметра при постоянстве остальных. Чтобы получить плоскость, вещественный параметр искусственно делают двумерным, заменяя s = jw с образованием мнимой оси, однако окончательным результатом является отрезок на действительной оси.
Подставив s = jw в характеристическое уравнение системы, разрешают его относительно изменяемого параметра, находят четную (действительную) U(w) и нечетную (мнимую) V(w) функции. Изменяя частоту w от 0 до плюс бесконечности, строят кривую D-разбиения и ее зеркальное отображение относительно действительной оси. Двигаясь по кривой от точки w = -¥ до точки w = +¥ , наносят штриховку слева от кривой. (Напомним, что кривая D-разбиения является отображением мнимой оси, а при движении по этой оси от -j¥ к +j¥ область устойчивости на плоскости корней располагается слева).
Направление штриховки указывает на область с наибольшим числом левых корней. При каждом переходе через кривую навстречу штриховке один корень характеристического уравнения становится правым, в обратном направлении – левым. Выбранную область-претендент D(0) проверяют на устойчивость с помощью любого критерия, подставив значение параметра из этой области в характеристическое уравнение. Поскольку изменяемый параметр является действительной величиной, его допустимые значения лежат на отрезке действительной оси, заключенном внутри области устойчивости D(0).
Критическим называется значение параметра системы или коэффициента характеристического уравнения, при котором система находится на границе устойчивости.
Для проверки области-претендента на устойчивость системы четвертого порядка используется критерий Рауса, согласно которому должны выполняться два условия: необходимое – все коэффициенты характеристического уравнения положительны, и достаточное – все элементы первого столбца таблицы должны быть положительными.
4.3 Указания к работе
В работе производится выбор значения коэффициента усиления k1 регулятора, вошедшего в коэффициент характеристического уравнения an, по условию устойчивости системы при номинальных значениях остальных коэффициентов.
Предварительно следует выразить аналитически зависимость коэффициента характеристического уравнения an от коэффициента k1.
Используя лист Лаб_4 "D-разбиение по одному параметру" из книги LinCAD.xls и характеристическое уравнение системы из предыдущей работы, получить на плоскости параметров область устойчивости при изменении в заданном диапазоне коэффициента an. Коэффициенты характеристического полинома (знаменателя ПФ) записывают в ячейки C7-C11 последовательно, начиная со старшего коэффициента, включая нулевые. Конечное значение частоты указывают в ячейке A11, его подбирают, исходя из вида графика.
На действительной оси определяют критические значения an, кр, соответствующие границам области устойчивости D(0), а в самой области устойчивости – желаемое значение an, приблизительно равноудаленное от границ области.
Подставляя выбранное из области устойчивости значение коэффициента an в таблицу Рауса, проверяем устойчивость системы после подстановки этого значения в характеристическое уравнение. Если устойчивость системы обеспечивается, по выбранной величине an необходимо найти значение k1, которое должно использоваться во всех последующих работах взамен первоначально заданного.
При нулевом значении k1 следует выбрать другую величину an.
4.4 Методический пример
Характеристическое уравнение системы
D(s) = a0 s4 + a1s3 + a2 s2 + a3 s + a4= s4 + 2s3 + 3s2 + 4s + 5 = 0.
Области устойчивости на комплексной плоскости при изменении частоты от 0 до 1,7 рад/с (рисунок 4.1).
D(2) D(1) D(1) D(1) D(1) D(0)
Рисунок 4.1
Критические значения равны a4, кр1 = 0 в сторону уменьшения и a4, кр2 = 2 в сторону увеличения значения коэффициента, оптимальное значение по устойчивости выбираем из области D(0) равным a4 = 1,1 (значение a4 = 1,0 не выбираем, т. к. при этом коэффициент k1 будет равен нулю).
Для проверки области-претендента на устойчивость по критерию Рауса подставляем выбранное значение в характеристическое уравнение D(s) = s4 + 2s3 + 3s2 + 4s + 1,1 = 0, получаем таблицу Рауса (таблица 4.1).
Таблица 4.1
1,000 | 3,000 | 1,100 |
2,000 | 4,000 | 0,000 |
1,000 | 1,100 | 0,000 |
1,800 | 0,000 | 0,000 |
1,100 | 0,000 | 0,000 |
Система при a4 = 1,1 устойчива, т. к. все элементы первого столбца таблицы Рауса больше нуля.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 |
