Методические советы студентам

Методические советы студентам

Материалы для самостоятельного изучения, самоконтроля

и подготовки к экзамену

Теоретические вопросы

Студенты самостоятельно прорабатывают следующие темы.

1. Элементы векторного анализа. (4 часа). ([2] часть 3 гл.2 §8).

2. Разложение в ряд Фурье функций с различными формами четности. (4 часа). ([1] гл.14 §7, [2] часть 2 гл.4 §3).

3. Нелинейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Интегрируемые комбинации. (4 часа). ([2] часть 3 гл.4 §4).

4. Элементы теории устойчивости. (4 часа). ([2] часть 3 гл.4 §5).

5. Элементы теории корреляции. (2 часа). ([4] гл.11 §§1,2).

Ряды

Определение числового ряда и его суммы, свойства сходящихся рядов.

Необходимый признак сходимости ряда.

Ряды с неотрицательными членами, признак сравнения.

Признак сходимости Даламбера.

Интегральный признак Коши.

Знакочередующиеся ряды, признак Лейбница, абсолютная и условная сходимость ряда.

Степенные ряды, общие определения.

Теорема Абеля, интервал и радиус сходимости ряда.

Отыскание радиуса сходимости ряда, примеры.

Общие свойства степенных рядов, теоремы о почленном дифференцировании и интегрировании степенных рядов.

Разложение элементарных функций в виде степенных рядов, применение степенных рядов в приближённых вычислениях.

Ряды Фурье, нахождение коэффициентов рядов Фурье (примеры).

Разложение чётных и нечётных функций в ряд Фурье (примеры).

Ряды Фурье в произвольном интервале (примеры).

Функции комплексного переменного

Комплексные числа. Действия над комплексными числами.

Тригонометрическая и показательная формы комплексных чисел.

Корень n-ой степени из комплексного числа.

Основная теорема алгебры. Разложимость многочлена n-ой степени в произведение линейных множителей.

Функции комплексного переменного. Основные элементарные функции комплексного переменного.

Дифференцирование функций комплексного переменного.

Понятие о теореме и формуле Коши.

Особые точки аналитических функций. Ряды Лорана.

Вычеты и их вычисление

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной. Частное и общее решение. Задача Коши для уравнений первого порядка. Теорема существования и единственности.

Интегрирование дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными и однородных. Интегрирование линейных дифференциальных уравнений.

Интегрирование дифференциальных уравнений Бернулли.

Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши для дифференциального уравнения высшего порядка. Теорема существования и единственности. Некоторые способы решения уравнения высшего порядка с помощью понижения порядка.

Фундаментальная система решений линейного однородного уравнения n-го порядка. Определитель Вронского. Структура общего решения линейного неоднородного уравнения n-го порядка.

Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа). Приемы решения линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами

Теория вероятностей

Понятие вероятности. Теоремы сложения вероятностей. Полная группа событий, противоположные события.

Теоремы умножения вероятностей, независимые события. Следствия из теорем сложения и умножения вероятностей.

Формула полной вероятности, формула Байеса.

Повторение испытаний, формула Бернулли.

Локальная теорема Лапласа.

Интегральная теорема Лапласа.

Случайные величины, виды СВ. Закон распределения дискретной СВ.

Биномиальное распределение.

Распределение Пуассона.

Числовые характеристики СВ, математическое ожидание, его свойства.

Дисперсия СВ, её свойства, формула для вычисления дисперсии.

Дисперсия числа появлений события в независимых испытаниях, среднее квадратическое отклонение, понятие о моментах (начальные, центральные моменты).

Неравенство Чебышева.

Теорема Чебышева.

Теорема Бернулли.

Функция распределения вероятностей СВ, свойства функции распределения, ее график.

Функция плотности распределения вероятностей, ее свойства, график, вероятностный смысл.

Равномерное распределение вероятностей, мат. ожидание, дисперсия.

Показательное распределение СВ, мат. ожидание, дисперсия.

Нормальное распределение, мат. ожидание, дисперсия.

Кривая Гаусса, влияние параметров нормального распределения на форму кривой.

Вероятность попадания в заданный интервал, вычисление вероятности заданного отклонения, правило 3-х сигм.

Система двух случайных величин, закон распределения, интегральная функция распределения, дифференциальная функция распределения.

Математическая статистика

Выборочный метод в математической статистике.

Статистическое распределение выборки, эмпирическая функция распределения, гистограмма, полигон.

Несмещенность, эффективность, состоятельность оценок параметров распределения.

Точечные и интервальные оценки.

Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения при известном СКО.

Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения при неизвестном СКО.

Оценки истинного значения измеренной величины.

Доверительные интервалы для оценки СКО.

Оценка генеральной дисперсии по исправленной выборочной.

Эмпирические и выравнивающие (теоретические) частоты (дискретные, непрерывные распределения).

Методика вычисления теоретических частот нормального распределения.

Построение кривой нормального распределения по опытным данным.

Статистическая проверка гипотез (ошибки первого и второго рода).

Критерий согласия Пирсона.

Критерий согласия Колмогорова.

Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины

Основная литература

1. Щипачев математика (учебник). М.: Высшая школа. 2001.

2. Пискунов и интегральное исчисление. Том 1и 2. «Интеграл-пресс». 2006.

3. , Кудрявцев курс высшей математики. М.: Астрель-АСТ. 2003.

4. Гмурман вероятностей и математическая статистика. М.: Высшее образование. 2008.

5. Кузнецов заданий по высшей математике. Типовые расчеты. Спб.: Лань. 2005.

6.  Гмурман к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М.: Высшее образование. 2008.

7. Щипачев по высшей математике. М.: Высшая школа. 2000.

Дополнительная литература

1. , , Кожевникова математика в упражнениях и задачах. Части 1 и 2. М.: Оникс. 2008.

2. Минорский задач по высшей математике. М.: Физматлит. 2001.