Визначений інтеграл як функція верхньої межі

2.2.4. Визначений інтеграл як функція верхньої межі

Якщо функція у = f(x) інтегровна на проміжку [a; b], то вона інтегровна і на проміжку [a; х], де х Î [a; х]. Замінюючи межу b у визначеному інтегралі змінної х, отримаємо вираз

(1) ,

який є функцією від х.

Теорема. Якщо функція у = f(x) інтегровна на [a; b], то функція Ф(х) буде неперервною від на тому ж проміжку.

Доведення. Надамо змінній х приріст Dх так щоб значення х + Dх не виходимо за межі розглядаємо проміжку. Отримаємо нове значення функції (1)

(2) ,

Вичтемо із рівності (2) рівність (1)

(3) .

Застосуємо до рівності (3) теорему про середнє значення 10:

,

де , ,

.

Якщо Dх ® 0, то

або ,

що доводить неперервність функції Ф(х).

Теорема. Якщо функція f(x) неперервна в точці t = x, то в цій точці функція Ф(х) має похідну, рівну f(x):

Доведення: Дійсно, із (2) матимемо

, де m¢ £ m £ M¢

Функція f(x) неперервна при t = x, отже за будь-яким e > 0 знайдеться таке число d > 0, що при |Dх| < d

для всіх значень t на проміжку [x; x + Dх]. В такому випадку мають місце нерівності

.

так що

Як то, що

Ми отримали висновок який має принципове значення:

Для неперервної на проміжку [a; b] функції у = f(x) завжди існує первісна прикладом її є визначений інтеграл (1) зі змінною верхньою межею.

2.2.5. Поняття визначеного інтегралу і другий підхід

Нехай на відрізку [a; b] задана обмежена функція у = f(x). Розглянемо розбиття Т відрізка [a; b] точками діляення

на кожному відрізку розбиття [хk; xk+1] знайдемо нижню і верхню межу значень функції у = f(x) відповідно mk і Мk:

,

.

Означення: Дві суми

і ,

Dхk = xk+1 – xk відповідно називаються нижньою і верхньою сумами Дароу.

Властивості сум Дароу:

1. Для кожного розбиття Т виконується нерівність:

.

2. Якщо розбиття D2 одержується із розбиття D1 додаванням декількох нових точок, то , , тобто при зменшенні розбиття нижні суми Дорту можуть тільки збільшиться, а верхні суми тільки зменшаться.

3. Для будь-яких розбить D1 і D2 виконується нерівність

,

тобто будь-яка нижня сума Дорту не перевищує будь-якої суми.

Означення: Функція у = f(x), обмежена на відрізку називається інтегровною на цьому відрізку. якщо існує єдине число І, що розділяє множини нижніх і верхніх сум Дароу для будь-яких розбить відрізка [a; b]. Якщо функція у = f(x) інтегровна на відрізку [a; b], то єдине число, що розділяє ці дві множини називаються визначеним інтегралом функції у = f(x) по відрізку [a; b] і позначають наступне

.

Приклад: Розглянемо функцію Діріхне Розглянемо функцію Діріхне у = D(x) на відрізку [0; 1]:

Ця функція є типовим прикладом обмеженої неінтегровної функції.

Дійсно, візьмемо будь-яке розбиття Т, у будь-якому відрізку розбиття [xk; xk+1] обов’язково містяться як раціональні так і ірраціональні точки, отже для будь-якого відрізка Dk : mk = 0, Mk = 1. Тоді всі нижні суми Дароу оскільки всі mk = 0, і всі верхні суми Дароу або — довжина відрізка [0; 1].

Таким чином, множина нижніх сум містить одне число Х = {0} і множина верхніх сум містить одне число Y = {1}, таким чином, що будь-яке число із відрізка [0; 1] розділяє множину Х і Y. Значить, функція Діріхле не є інтегровною на відрізку [0; 1].

Теорема (критерій інтегровності). Для того щоб функція у = f(x) визначена і обмежена на відрізку [a; b], була інтегровною на цьому відрізку необхідно і достатньо щоб для будь-якого e > 0 існувало розбиття Т таке, що SD – SD < e.

Доведення. Достатність очевидна: покладемо , отримаємо систему відрізків, що стягуються [S2n; S2n], яка і буде єдиним розділяючим числом.

Нехай, навпаки, відомо, що розділяюче число єдино. Тоді для будь-якого e > 0 в інтервал (І – e/2; І + e/2) довжини e попадають точки із {SD} і {SD}. Отже, знайдуться розбиття Т і Т2 такі, що

.

Візьмемо за Т розбиття яке включає точки із Т1 і із Т2. Тоді за властивістю 2 сум Дароу матимемо

, Звідси

(1) .

Означення: Різниця Mk – mk називається коливанням функції f(x) на відрізку [xk; xk+1] і позначається wk.

З урахуванням означення нерівність (1) можна переписати наступним чином:

(2)

2.2.6. Інтегровність неперервної функції

Теорема. Функція неперервна на відрізку [a; b] інтегровна на цьому відрізку.

Доведення. Візьмемо довільне e < 0.

За властивістю рівномірної неперервності (п. 1.2….) знайдеться таке розбиття Т відрізка [a; b], що для всіх відрізків розбиття буде виконуватись нерівність . Тоді

.

Згідно з (2) п. 2.2.5 це означає інтегровність функції на відрізку [a; b].

2.2.7. Основна формула інтегрального числення і вивід

Відомо, що для неперервної на проміжку [a; b] функції f(x) інтеграл

є первісною. Якщо F(x) — будь-яка первісна для f(x) функція, то

.

Сталу С можна визначити, якщо покласти х = а або Ф(а) = 0. Будемо мати

0 = Ф(а) = F(x) + С, звідси С = – F(x)

Остаточно,

Ф(х) = F(x) – F(а).

Зокрема при х = b, отримаємо

або

(1) ,

де

Це —формула Ньютона—Лейбніца — основна формула інтегрального числення.

За допомогою формули (1) встановлюється зв’язок між теоремами про середнє в диференціальному і інтегральному численні.

Приклад:

1. .

2. .

2.2.8. Формули зведення. Формула інтегрування частинами

Основна формула інтегрального числення може в деяких випадках зразу давати значення визначеного інтегралу. З іншого боку, за її допомогою різні формули зведення в теорії невизначених інтегралів перетворюються в аналогічні формули вже в визначених інтегралах, що дозволяє обчислення одного інтеграла зводити до обчислення другого більш простого інтеграла.

Загальна форма формул зведення має вид:

(1) .

Якщо областю застосування подібної формули є проміжок [a; b], то її у визначених інтегралах відповідає формула

(2)

Дійсно, позначимо інтеграл ò g(x)dx через Ф(х):

ò g(x)dx = Ф(х).

Тоді за основною формулою матимемо:

Але

,

тому приходимо до формули (2).

Зокрема, формула інтегрування частинами приймає вид:

(3) ,

а узагальнена формула переходить в таку:

(4) .

Формула (2) встановлює відношення між числами і вона простіша формули (1), яка встановлює відповідності між функціями.

Приклад. Обчислити інтеграл .

За формулою (3) матимемо:

Звідси матимемо рекурентну формулу

або

(5)

За допомогою формули (5) інтеграл In послідовно зводиться до інтегралу І0 або І1.

Якщо n — парна степінь (n = 2k), то матимемо:

Якщо n — непарна степінь (n = 2k + 1), то матимемо:

.

Отже

(6)