Київський національний університет імені Тараса Шевченка
механіко-математичний факультет
ПРОГРАМА
з основних нормативних курсів для комплексного державного іспиту з механіки
освітньо-кваліфікаційного рівня “магістр”
(спеціальність підготовки “теоретична та прикладна механіка”,
спеціалізації “теоретична та прикладна механіка”, “механіка суцільних середовищ”)
2013/2014 навчальний рік
А. Студент повинен формулювати та активно володіти поняттями
1. Математичний аналіз
1) Границя числової послідовності. Границя функції в точці і на нескінченності. Теореми про границі. Розкриття деяких невизначеностей. Техніка обчислення границь.
2) Важливі границі.
3) Неперервність функції в точці. Типи розривів. Теореми про неперервні функції.
4) Похідна функції однієї змінної. Правила обчислення похідних. Диференціал функції однієї змінної. Геометричний та механічний зміст. Дотична до кривої.
5) Застосування похідних до дослідження функцій. Умови монотонності функції. Екстремум: необхідна та достатня умови екстремуму. Найбільше та найменше значення функції. Правила Лопіталя.
6) Похідні та диференціали функції багатьох змінних. Екстремуми функції багатьох змінних.
7) Первісна, невизначений інтеграл. Методи знаходження невизначених інтегралів.
8) Інтеграл Рімана, умови його існування та зв’язок з первісною функції. Геометричні та механічні застосування визначеного інтеграла.
9) Невласні інтеграли. Умови збіжності невласних інтегралів. Абсолютна збіжність.
10) Числові ряди. Сума ряду, ознаки збіжності. Абсолютна збіжність.
11) Степеневі ряди. Радіус збіжності. Область збіжності степеневого ряду.
12) Ряд Тейлора. Ряд Маклорена. Розвинення основних елементарних функцій в ряди Маклорена.
13) Ряд Фур’є. Умови розкладу функції в ряди Фур’є. Властивості збіжності рядів Фур’є для кусково-неперервних функцій.
14) Кратні інтеграли. Заміна змінних у кратному інтегралі. Механічні та геометричні застосування інтеграла по площі та по об’єму.
15) Криволінійні та поверхневі інтеграли. Потік вектора через поверхню. Циркуляція вектора по замкненому контуру.
16) Скалярні та векторні поля. Градієнт скалярного поля. Дивергенція і ротор векторного поля. Потенціальне та соленоїдальне поля.
2. Диференціальні рівняння
1) Диференціальні рівняння першого порядку. Основні типи диференціальних рівнянь першого порядку.
2) Задача Коші.
3) Лінійні однорідні диференціальні рівняння n-го порядку. Фундаментальна система розв’язків. Визначник Вронського. Розв’язок лінійних однорідних рівнянь n-го порядку зі сталими коефіцієнтами. Лінійне неоднорідне рівняння.
4) Класифікація особливих точок автономних систем диференціальних рівнянь 2-го порядку.
5) Рівняння Бесселя і його розв’язок.
3. Теорія функції комплексної змінної
1) Функція комплексної змінної. Похідна і диференціал функції комлексної змінної.
2) Конформні відображення.
3) Класифікація ізольованих особливих точок. Цілі та дробові функції. Лишки.
4) Ряди Тейлора і Лорана.
4. Рівняння математичної фізики
1) Лінійні диференційні рівняння 2-го порядку. Їх класифікація та зведення до канонічної форми.
2) Постановка основних крайових задач для хвильового рівняння. Їх фізичний зміст.
3) Постановка основних крайових задач для рівняння теплопровідності. Їх фізичний зміст.
4) Постановка внутрішніх та зовнішніх задач Дирихлє та Неймана для рівнянь Лапласа та Пуассона.
5) Метод Фур’є.
5. Лінійна алгебра
1) Матриці та дії над ними. Обернена матриця.
2) Визначники, їх властивості та застосування.
3) Теореми Кронекера-Капеллі про сумісність і визначеність системи лінійних рівнянь.
4) Формули Крамера. Метод Гаусса.
5) Векторні простори. Лінійна залежність. База і розмірність. Координати у векторному просторі. Заміна координат.
6) Власні числа і власні вектори. Характеристичний многочлен.
7) Зведення квадратичної форми до канонічного вигляду методом Лагранжа і Якобі.
6. Аналітична та диференціальна геометрія
1) Скалярний, векторний та мішаний добутки векторів, застосування, геометричний та фізичний зміст.
2) Рівняння прямої на площині. Рівняння прямої та площини у просторі. Відстань від точки до площини.
3) Канонічні рівняння кривих і поверхонь другого порядку. Загальні рівняння кривих і поверхонь другого порядку та їх інваріанти; зведення загальних рівнянь кривих і поверхонь до канонічного вигляду.
4) Формули для кривизни та скруту кривої. Криволінійні координати на поверхні; головні напрямки і головні кривизни.
7. Теоретична та аналітична механіка
1) Основні задачі статики. Механічні в'язі та їх реакції. Аксіоми статики.
2) Момент сили відносно точки та відносно осі.
3) Умови рівноваги збіжної, плоскої та довільної просторової системи сил. Умови рівноваги невільного твердого тіла.
4) Центр системи паралельних сил. Центр ваги.
5) Три способи визначення руху точки в просторі. Швидкість та прискорення руху точки.
6) Абсолютна швидкість та абсолютне прискорення. Прискорення Коріоліса.
7) Розподіл лінійних швидкостей та лінійних прискорень в тілі, що : а)обертається навколо нерухомої осі, б) обертається навколо нерухомої точки, в) рухається плоско-паралельно.
8) Основні задачі динаміки точки. Диференціальні рівняння руху точки.
9) Кінетична енергія точки, системи точок. Кінетична енергія тіла, яке рухається плоско–паралельно, тіла, яке обертається навколо нерухомої осі та навколо нерухомої точки.
10) Моменти інерції та їх властивості. Головні осі інерції.
11) Диференціальні рівняння відносного руху матеріальної точки.
12) Динаміка точки змінної маси. Рівняння Мещерського.
13) Принцип можливих переміщень. Загальне рівняння статики. Принцип Даламбера–Лагранжа. Загальне рівняння динаміки.
14) Диференціальні рівняння руху матеріальної системи в узагальнених координатах: рівняння Лагранжа 1–го і 2–го роду.
15) Канонічні змінні. Канонічні рівняння динаміки.
16) Варіаційні принципи механіки. Ізохронні і неізохронні варіації. Принцип Остроградського – Гамільтона. Принцип Остроградського.
17) Диференціальні рівняння руху неголономних систем: рівняння Апеля.
18) Основні положення та поняття стійкості рівноваги та стійкості руху матеріальної системи.
19) Означення стійкості руху за Ляпуновим.
20) Критерії для дослідження стійкості лінійних стаціонарних систем: критерій Рауса - Гурвіца, критерій Льєнара - Шипара, критерій Михайлова.
21) Малі коливання системи з N–степенями вільності навколо положення стійкої рівноваги. Головні частоти, головні коливання.
22) Обертання твердого тіла навколо нерухомої осі. Диференціальні рівняння руху. Визначення динамічних реакцій. Вільна вісь обертання.
23) Постановка задачі про рух твердого тіла з нерухомою точкою. Випадки Ейлера і Лагранжа.
24) Наближена теорія гіроскопічних явищ. Основні припущення. Гіроскопічний момент.
25) Елементарна теорія удару. Коефіцієнт поновлення.
8. Чисельні методи задач механіки
1) Інтерполяційний поліном в формі Ньютона з розділеними різницями. Інтерполяційний поліном в формі Ньютона для рівних проміжків.
2) Квадратурні формули Ньютона-Котеса. Квадратурні формули Гауса.
3) Методи розв’язування повної проблеми власних значень. Метод Крилова. Метод Данілевського.
4) Скінчено-різницеві методи розв’язання задачі Коші.
5) Метод Ньютона розв’язку нелінійних рівнянь. Метод хорд.
9. Теорія коливань
1) Лінійний гармонічний осцилятор. Фазова площина. Положення рівноваги і особливі точки.
2) Осцилятор під дією зовнішньої сили. Випадок гармонічної зовнішньої сили. Резонанс. Фазові співвідношення при резонансі.
3) Нелінійний осцилятор як узагальнена модель теорії коливань. Фазовий портрет консервативного нелінійного осцилятора.
Варіаційне числення та теорія оптимального керування механічних систем і процесів1) Варіаційна задача для найпростішого функціоналу. Рівняння Ейлера. Узагальнення найпростішої варіаційної задачі: функціонали з багатьма змінними, функціонали, які залежать від похідних вищих порядків.
2) Поле екстремалей і поле трансверсалей, їх властивості. Поняття про спряжені точки. Умови і рівняння Якобі.
3) Метод динамічного програмування. Принцип оптимальності.
4) Застосування динамічного програмування до задачі з фіксованим часом керування і вільним кінцем траєкторії. Рівняння Беллмана.
Методи зважених нев’язок розв’язування задач механіки1) Формулювання та застосування методів Гальоркіна та колокаційних методів.
2) Методи скінчених елементів для скалярних та векторних задач.
3) Застосування методу часткової дискретизації розв’язування початково-граничних задач механіки.
4) Багатошарові скінчено-елементні схеми розв’язування задачі Коші.
5) Методи скінчених елементів для стаціонарної задачі теплопровідності та статичної лінійної теорії пружності.
6) Методи граничних елементів. Інтегральне представлення розв’язку граничної задачі. Граничне інтегральне рівняння. Гранично-елементна дискретизація граничного інтегрального рівняння.
Основи механіки суцільних середовищ1) Модель суцільного середовища. Гіпотези суцільності і неперервності.
2) Зовнішні і внутрішні сили, масові і поверхневі сили. Напруження, деформації. Тензор напружень, тензор деформацій.
3) Способи завдання руху суцільного середовища по Лагранжу і Ейлеру.
4) Тензор швидкостей деформацій, фізичний зміст його компонент.
5) Рівняння нерозривності.
6) Модель ідеальної рідини. Рівняння Ейлера.
7) Модель в’язкої (ньютонівської) рідини. Закон Ньютона. Рівняння Нав’є–Стокса.
8) Критерії подібності. Число Рейнольдса. Наближення Стокса і Озеєна. Рівняння примежового шару.
9) Турбулентний режим течії. Рівняння Рейнольдса.
10) Інтеграл Бернуллі.
11) Парадокс Даламбера–Ейлера.
Теорія пружності1) Постановка задач теорії пружності в напруженнях, рівняння Бельтрамі–Мічела.
2) Постановка задач теорії пружності в переміщеннях, рівняння Нав’є.
3) Плоска задача теорії пружності, функція напружень Ері.
4) Формули Колосова-Мусхелішвіллі.
5) Представлення Ламе розв`язку рівняння Нав’є.
6) Представлення Папковича-Нейбера розв`язку рівняння Нав’є.
7) Згин прямокутної пластини сталої товщини, сторони якої шарнірно оперті.
8) Коефіцієнт інтенсивності напружень. Силовий критерій Ірвіна.
9) Принцип Сен-Венана.
Аерогідомеханіка1) Рівняння руху ідеальної стисливої рідини. Адіабата Пуасона. Інтеграл енергії.
2) Число Маха та швидкісний коефіцієнт. Ізоентропічні співвідношення.
3) Слабкі розриви диференціальних рівнянь в частинних похідних.
4) Характеристики рівнянь газової динаміки у випадку плоского стаціонарного безвихрового руху та нестаціонарного одновимірного руху.
5) Сильні розриви. Умови стрибка.
Крайові задачі механіки суцільних середовищ1) Рівняння магнітопружності в ейлеревому та лагранжевому описах.
2) Граничні умови в ейлеревому та лагранжевому описах.
3) Рівняння магнітопружності для гнучких і тонких оболонок.
4) Гіпотези електромагніто пружності теорії тонких оболонок.
5) Рівняння руху гнучких оболонок у нестаціонарному магнітному полі.
6) Методика розв’язання магнітопружних задач.
Б. Студент має вміти доводити такі теореми загальних курсів
1. Математичний аналіз
1) Теореми про три послідовності, про арифметичні дії зі збіжними послідовностями.
2) Теореми Ролля, Лагранжа та Коші.
3) Теореми про неперервність, інтегровність та диференційовність суми функціонального ряду.
4) Достатні умови локального екстремуму функції кількох змінних.
5) Достатні умови збіжності ряду Фур’є в точці.
6) Теореми Стокса, Гріна, Гауса–Остроградського.
2. Диференціальні рівняння
1) Теореми Коші та Пеано про існування та єдиність розв’язку задачі Коші для диференціальних рівнянь першого порядку.
2) Теорема про існування фундаментальної системи розв’язків лінійного диференціального рівняння n-го порядку.
3. Теорія функції комплексної змінної
1) Критерій аналітичності Коші-Рімана.
2) Теорема Коші про інтеграл від анлітичної функції та її наслідки.
3) Теорема про модуль та аргумент похідної функції комплексної змінної.
4. Рівняння математичної фізики
1) Теорема про єдиність розв’язку крайової задачі для хвильового рівняння.
2) Теорема про єдиність розв’язоку крайової задачі для рівняння теплопровідності.
3) Теореми про єдиність розв’язків внутрішніх та зовнішніх задач Діріхле та Неймана для рівнянь Лаплпса та Пуассона.
5. Лінійна алгебра
1) Теорема про ранг матриці.
2) Формули зміни координат вектора і матриці лінійного перетворення при зміні бази.
3) Закон інерції дійсних квадратичних форм.
4) Метод ортогоналізації Грама-Шмідта. Ортонормовані бази.
6. Аналітична та диференціальна геометрія
1) Теорема про геометричний зміст мішаного добутку векторів.
2) Теорема про дотичну до кривої другого порядку.
3) Кривина кривої. Її геометричний зміст.
7. Теоретична та аналітична механіка
1) Теорема про складання швидкостей в складному русі матеріальної точки. Теорема Коріоліса.
2) Теорема про зміну кількості руху матеріальної точки. Теорема про зміну кількості руху системи матеріальних точок.
3) Теорема про рух центру інерції системи матеріальних точок.
4) Теорема про зміну моменту кількості руху матеріальної точки. Теорема про зміну кінетичного моменту системи матеріальних точок.
5) Теорема Кьоніга. Терема про зміну кінетичної енергії матеріальної точки. Терема про зміну кінетичної енергії системи матеріальних точок.
6) Теорема про еквівалентність принципу Остроградського –Гамільтона та рівняння Лагранжа 2–го роду для опису голономних систем.
7) Теорема Лагранжа–Діріхле про стійкість положення рівноваги. Теореми Ляпунова про стійкість та нестійкість руху.
8) Теорема Резаля.
9) Теореми про зміну кількості руху, моменту кількості руху та кінетичної енергії при ударі.
8. Чисельні методи задач механіки
1) Теорема про достатню умову збіжності методу простої ітерації. Теорема про достатню умову збіжності методу Зейделя для випадку симетричної додатньо визначеної матриці.
9. Варіаційне числення та теорія оптимального керування механічних систем і процесів
1) Теорема про існування поля екстремалей.
2) Теорема Вейєрштраса про необхідні і достатні умови сильного мімімума функціоналу.
3) Теорема Якобі про небхідні і достатні умови слабкого екстремуму функціоналу.
4) Принцип максимума Понтрягіна як необхідна умова оптимальності в задачах оптимального керування.
10. Основи механіки суцільних середовищ
1) Теорема Коші–Гельмгольця.
2) Друга теорема Гельмгольця.
3) Динамічна теорема Кельвіна про вихори.
4) Інтеграл Лагранжа–Коші.
5) Узагальнений закон Ньютона.
6) Формула диференціювання по часу інтегралу по рухомому об’єму.
11. Теорія пружності
1) Теорема Бетті (про взаємність робіт).
2) Теорема про мінімум потенціальної енергії.
3) Узагальнений закон Гука для ізотропного тіла.
4) Узагальнений закон Гука для анізотропного матеріалу.
5) Формула Клайперона.
12. Аерогідомеханіка
1) Інтегрування рівняння енергії у випадку адіабатичного руху досконалого газу..
2) Розв’язок Даламбера задачі ро розповсюдження малих збурень в стисливому гізі, що знаходиться у стані спокою. Одновимірний випадок
3) Розв’язок Пуасона задачі ро розповсюдження малих збурень в стисливому гізі, що знаходиться у стані спокою. Тривимірний випадок
4) Рівняння газової динаміки у формі інтегралів. Сильні розриви. Умови стрибка.
13. Крайові задачі механіки суцільних середовищ
1) Вивести рівняння магнітопружності в ейлеревому описі.
2) Вивести рівняння магнітопружності в лагранжевому описі.
3) Формулювання крайових умов для задачі про деформацію пружних оболонок.
Додаткова програма кафедри теоретичної та прикладної механіки, спеціалізація “теоретична та прикладна механіка”
1. Методи аналітичних функцій в задачах механіки
1) Інтеграл типу Коші та його властивості.
2) Крайові задачі Гільберта та Рімана. Мультиплікативна факторизація коефіцієнту задачі.
3) Аналітичне продовження інтегралів Фур’є.
4) Зведення сингулярного характеристичного інтегрального рівняння з ядром типу Коші та характеристичного рівняння типу згортки до крайової задачі Рімана. Регуляризація повних сингулярних інтегральних рівнянь.
5) Задача Зомерфельда.
6) Контактна задача в умовах гладкого контакту.
2. Теорія динамічного хаосу
1) Збережені величини та інтеграли руху. Поняття ізолювального інтегралу руху. Зв’язок між теорією стійкості руху та теорією динамічного хаосу. Використання показників Ляпунова.
2) Інфінітизимальні перетворення в лагранжевих системах. Інваріантність лагранжевої системи до інфінітизимальних перетворень. Теорема Нетер.
3) Інфінітизимальні канонічні перетворення. Інваріантність Гамільтонової системи.
4) Узагальнення поняття інтегровності Гамільтонової системи. Теорема Ліувіля про інтегровність Гамільтонової системи.
5) Ліберація та ротація. Змінні дії. Змінні кути. Рівняння та розв’язки Гамільтона-Якобі для цілком сепарабельних Гамільтонових систем.
6) Неінтегровні динамічні системи. Рух на гіперторі. Теорема КАМ.
3. Теорія хвилеводів
1) Хвилеводи. Нормальні хвилі плоского хвилеводу з ідеальними межами.
2) Фазова і групова швидкості нормальної хвилі. Дисперсійне рівняння.
3) Збудження хвилеводу точковим джерелом.
4) Неоднорідні хвилеводи. Хвилевод з вигином.
Додаткова програма кафедри механіки суцільних середовищ,
спеціалізація “механіка суцільних середовищ”
1. Нелінійні коливання та хвилі
1) Метод малого параметру в задачах нелінійних коливань. Теореми Пуанкаре.
2) Рівняння Дуфінга, метод Лінкштедта-Пуанкаре.
3) Метод перенормування, метод Крилова.
4) Метод варіації довільних сталих. Метод усереднення. Метод Крилова-Боголюбова-Митропольського.
5) Основні типи нелінійних явищ, що спостерігаються в коливальних системах.
6) Нелінійні коливання і хвилі в пружних системах, метод модальної декомпозиції.
7) Нелінійні коливання і хвильовий рух рідини з вільною поверхнею, варіаційні методи дослідження.
2. Варіаційні принципи механіки
1) Рівняння Лагранжа 1-го і 2-го роду. Рівняння руху невільної системи, надлишкові змінні
2) Принципи Даламбера-Лагранжа, Журдена, Гауса. Специфіка вибору рухів порівняння. Дія за Гаусом.
3) Кінетична енергія, інтеграл енергії. Інтегральні варіаційні принципи.
4) Принцип Гамільтона-Остроградського для дискретних систем.
5) Принцип Гамільтона-Остроградського для континуальних систем.
6) Методи Рітца, Релея, Гальоркіна, Канторовича. Екстремальні властивості частот при використанні методі Рітца.
7) Варіаційне рівняння коливань балки, визначення динамічних граничних умов і внутрішніх сил взаємодії в системі.
3. Чисельно-аналітичні методи в механіці суцільних середовищ
1) Числові перетворення основних рівнянь.
2) Методи побудови розрахункових сіток..
3) Методи сіток для рівнянь еліптичного, параболічного та гіперболічного типів.
4) Стаціонарне та нестаціонарне рівняння дифузії та конвекції.
5) Рівняння Бюргерса.
6) Рівняння плоского та тривимірного примежового шару.
7) Методи розв’язання вкорочених та повних рівнянь Нав’є-Стокса.
5. Механіка руйнування
1) Коефіцієнти інтенсивності напружень та силовий критерій локального руйнування Ірвіна.
2) Двопараметрична модель Леонова-Панасюка-Дагдейла.
3) Інваріантний J - інтеграл Райса.
4) Основні гіпотези атермічної теорії пластичності. Постулат Дракера.
5) Критерії пластичності Треска-Сен-Венана та Губера-Мізеса.
ЛІТЕРАТУРА
1. Курош высшей алгебры. М. Наука, 1971.
2. Александров аналитической геометрии и линейной алгебры. М. Наука, 1969.
3. , Ильин геометрия, . Вища школа, 1961.
4. Фихтенгольц дифференциального и интегрального исчисления, Наука, 1969.
5. Степанов дифференциальных уравнений, М.: Наука, 1966.
6. , , Парасюк І. О. Диференційні рівняння, т. 1,2. К: Либідь, 1994.
7. Привалов в ТФКП, М.: Физматгиз, 1964.
8. Владимиров математической физики, Наука, 1971.
9. Кільчевський теоретичної механіки, т. 1,2. К: Вища школа, 1972, 2010.
10. . Численные методы. т. 1. М. Наука 1973
11. , . Методы вычислений. т. 1,
12. Писаренко материалов, К: Вища школа, 1979.
13. Ильюшин сплошной среды, М.: МГУ,1973.
14. Седов сплошной среды. М.: Наука, 1983.
15. Лойцянский жидкости и газа, Наука, 1987.
16. , Гудьер Дж. Теория упругости, М., Наука, 1974.
17. , Люстерник вариационного исчисления, М: Гостехиздат, 1950.
18. Эльсгольц уравнения и вариационное исчисление, М: Наука,1969.
19. и др. Математическая теория оптимальных процессов, М: Наука, 1976.
20. Динамическое программирование, М: ИЛ, 1960.
21. , , Є. Теория колебаний, М: Наука, 1981.
22. И. Лекции по теории колебаний. – М.: Наука, 1972. – 512 с.
23. Нелинейная механика, М: ИЛ, 1961.
24. Малкин устойчивости движения, М: Наука, 1966.
25. , Мольченко теорії пластин та оболонок., К.: Либідь, 1993, 229с.
26. , Войновский-Кригер и оболочки. М.: 1963, 636 с.
27. Теория упругости., М.: Мир, 1988.
28. Грінченко В. Т., Улітко А. Ф., Шульга ість. - К.:Наукова думка, 1989.
29. Мезон кристаллы и их применение в ультраакустике. – М., 1951.
30. Гахов задачи. М: ”Наука”, 1977.
31. , Черский типа свертки. М: ”Наука”, 1978.
32. . Математические методы классической механики, М., "Наука", 1989.
33. Гаральд І. Класична механіка. Львів, Львівський національний університет, 1999.
Програма затверджена на засіданні вченої ради механіко - математичного факультету
Протокол № 6 від 14 січня 2014 р.
Декан механіко-математичного факультету ій
