Об одном подходе к решению обратных задач теплопроводности

ОБ ОДНОМ ПОДХОДЕ К РЕШЕНИЮ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

, доцент; , студент

Известно [1], что решение первой краевой задачи для полупрямой, при условии, что

T(0,t)=u(t)

задается интегральным соотношением

. (1)

В некоторых случаях представляет интерес решение обратной задачи, то есть задачи определения функции u(t) по известным измерениям температуры в фиксированных точках, например точке x=l. В этом случае соотношение (1) можно рассматривать как интегральное уравнение вида

. (2)

Уравнение (2) является уравнением Вольтерра І – го рода и по существу своему является некорректным.

Для его решения можно применить алгоритм – регуляризации по Тихонову. С этой целью рассматривается регуляризованный функционал

, (3)

где

а – приближенное значение температуры в точке x=l такое, что

.

Искомым приближением к решению уравнения (1) является экстремаль функционала (3), отвечающая тому значению параметра , для которого, например, невязка равна .

Для поставленной задачи составляется уравнения Эйлера, которое затем аппроксимируется по формуле прямоугольников системой линейных алгебраических уравнений.

В данной работе рассматривается подход, в котором аппроксимируется исходное интегральное уравнение (2) , а затем регуляризуется полученная плохо обусловленная система линейных алгебраических уравнений.

Для решения поставленной задачи разработан алгоритм и компьютерные программы, приведен ряд расчетов и их сравнения с результатами, полученными в [2].

Список литературы

1. , Уравнения математической физики М. – Л., Гостехиздат, 1951.

2. , К вопросу и методах определения температуры поверхности тела. ЖВМ и МФ, №4, 1967 г. с. 910 – 914.