Готовимся к олимпиаде(условие)
Задание 1. Решите уравнение 
.
Задание 2. Числа 
таковы что 
. Докажите, что 
.
Задание 3. Решите уравнение 
.
Задание 4. Найти все целые положительные числа x и y, что четырехзначное число 
— есть точный квадрат числа r, делящегося на 6.
Задание 5. Найти отрезок, концы которого лежат на графике функции 
, а ось ординат для него является серединным перпендикуляром.
Задание 6. Решите уравнение 
.
Задание 7. При каких а система 
имеет единственное решение?
Задание 8. Среди пар 
для каждой из которых система 
имеет единственное решение, выбрать ту, для которой выражение 
имеет наибольшее значение.
Задание 9. Решите уравнение 
.
Задание 10. Назовем числа “приблизительно равными”, если их (сумма) разность не больше 1. Сколько существует способов представить число 2004 в виде суммы целых положительных “приблизительно равных” слагаемых?
Готовимся к олимпиаде(решения)
Задание 1. Решите уравнение .
Решение. Один из возможных способов решения данного уравнения является введение параметра. Пусть 
, тогда уравнение примет вид:
.
Заметим, что оно является квадратным относительно а. Перепишем его в виде: 
.
Его дискриминант равен 
.
Тогда 
; 
.
Значит исходное уравнение равносильно совокупности двух уравнений 
Ответ: 
.
Задание 2. Числа таковы что . Докажите, что .
Доказательство. Оценим каждый из множителей, применяя неравенство Коши: 
; 
; …, 
.
Умножив последние n неравенств получим: 
(т. к. ).
Неравенство доказано.
Задание 3. Решите уравнение .
Решение. ОДЗ уравнения 
.
Используя неравенство Коши имеем: 
; 
; 
; 
; 
.
Сложив последние неравенства получим: 
.
Тогда: 
. Последняя система решений не имеет.
Ответ: корней нет.
Задание 4. Найти все целые положительные числа x и y, что четырехзначное число — есть точный квадрат числа r, делящегося на 6.
Решение. 
; 
. Тогда 
. Значит 
и 
.
Так как 
, то 
. Из чисел 
на 4 делятся только числа 92 и 96, но — точный квадрат, а значит не может оканчиваться цифрой 2. Значит остается только вариант 
. Тогда 
. Так как это число кратно 9, то 
или 
. Учитывая, что x — цифра, получим 
.
Ответ: , .
Задание 5. Найти отрезок, концы которого лежат на графике функции , а ось ординат для него является серединным перпендикуляром.
Решение. Поскольку ось ординат для искомого отрезка является серединным перпендикуляром, то 
, где 
и 
— абсциссы концов этого отрезка. Тогда 
.
Значит: 
.
Ответ: координаты концов искомого отрезка 
и 
.
Задание 6. Решите уравнение .
Решение. Рассмотрим функцию 
. 
. 
— четная.
.
Данная производная существует для любого x из области определения данной функции.
при 
.
при 
.
при 
.
Значит функция возрастает при 
и при 
, убывает 
и при 
.
— точка максимума,
— точки минимума.
— наименьшее значение функции .
И так как 
, то исходное уравнение равносильно системе: 
.
Ответ: 3.
Задание 7. При каких а система имеет единственное решение?
Решение. Рассмотрим второе уравнение системы: 
.
Последнее уравнение — однородное второй степени. Пара 
является его решением, поэтому оно равносильно совокупности: 
или 
.
Дискриминант последнего уравнения: 
, так как 
.
Значит исходная система уравнений равносильна следующей системе уравнений:
Ответ: 2.
Задание 8. Среди пар для каждой из которых система имеет единственное решение, выбрать ту, для которой выражение имеет наибольшее значение.
Решение.
Если 
и 
одновременно, то последняя система имеет бесконечное множество решений — что не удовлетворяет условию.
Если и 
, то последняя система не имеет решений, что также не удовлетворяет условию задачи.
Значит 
, уравнение 
— квадратное. Поделив уравнение на , получим 
Чтоб последняя система имела единственное решение, дискриминант квадратного уравнения 
должен быть равен нулю.
; 
.
Значит пары 
, при которых достигается единственность решения системы имеет вид 
, причем, по условию, 
. Найдем ту из них, чтобы выражение 
принимало наибольшее значение: 
.
Рассмотрим 
, при .
. 
существует для любого .
при 
; 
.
при 
; 
при 
.
— точка максимума.
Поскольку — единственная точка максимума при , то в ней 
достигает своего наибольшего значения.
.
Ответ: 
.
Задание 9. Решите уравнение .
Решение. Исходное уравнение равносильно следующему: 
.
Заметим, что уравнение имеет вид: 
, где 
.
. 
для любого
.
Значит монотонна. Поэтому уравнение 
.
Ответ: 
.
Задание 10. Назовем числа “приблизительно равными”, если их (сумма) разность не больше 1. Сколько существует способов представить число 2004 в виде суммы целых положительных “приблизительно равных” слагаемых?
Решение. Пусть число 2004 разбито на k таких слагаемых. Пусть среди них S равны n и r равных 
. Тогда 
; 
. Значит 
.
Ответ: 2003.
