Рецензия
на статью учащегося 11 класса Могилевского областного лицея Ю. Ваннэ
«Антимагические квадраты» (1998 год)
(историческая справка и новые задачи про антимагические квадраты)
Впервые задача об антимагических квадратах была сформулирована в маленькой статье И. Акулича «Антимагический квадрат» (журнал «Фокус», 1994 г., № 2). В 1995 году в статье И. Федорова «Еще раз об антимагических квадратах» («Фокус», № 3) были поставлены общие вопросы о существовании и способах построения антимагических квадратов первого и второго рода. А уже в 1998 году на Третьей республиканской конференции учащихся (март 1998 г., Минск) учеником 11 класса Могилевского областного лицея Юлианом Ваннэ было предложено полное решение поставленных вопросов! Затем в апреле 1998 года на Международной конференции юных ученых в г. Вышеграде (Венгрия) Ю. Ваннэ получил за эту работу диплом первой степени.
В нашем электронном журнале предлагается вариант работы Ю. Ваннэ, опубликованный в журнале «Репетитор» в 1999 г. Отметим, что есть интересные вопросы для дальнейшего исследования антимагических квадратов, поставленные в указанной статье самим автором. Некоторые вопросы впоследствии изучались различными школьниками (в частности, из г. Копыля). Однако, их результаты носили в основном частный характер и не имели шумного успеха (хотя и получили диплом на одной из республиканских конференций).
Сегодня в дополнение к уже имеющимся мы предлагаем читателям новые задачи.
Антимагические квадраты и арифметика остатков
Исследовать существование при различных п антимагических квадратов первого, второго и третьего рода над кольцом целых чисел Zp (р > 2п +2). Более точно: будем рассматривать квадраты, состоящие из чисел 0, 1, 2, …, р-1, причем сложение чисел, а также их умножение выполняется по модулю р (т. е. результатом сложения двух или нескольких чисел из Zp является остаток от деления на р их суммы; такое множество и будем обозначать Zp). Вопросы для исследования:
1. Уточнить определение антимагических квадратов первого и второго рода для такой постановки задачи. Например, какой смысл вкладывать в числа 1, 2, 3, …, п2, если п2 ³ р, при рассмотрении антимагического квадрата первого рода? Кроме этого, определим антимагический квадрат третьего рода как квадрат, состоящий из чисел 0, 1, 2, …, р - 1, взятых в произвольном количестве, и такой, что суммы чисел этого квадрата по всем строкам, столбцам и главным диагоналям различны.
2. Для каких п и р существуют антимагические квадраты первого, второго и третьего рода размера п ´ п, состоящие из элементов описанного множества Zp.
3. Предложить алгоритмы построения антимагических квадратов (если, конечно, они существуют).
, кандидат физ.-мат. наук, доцент
факультета прикладной математики и информатики БГУ
