Дійсний простір n – вимірних векторів

Дійсний простір n – вимірних векторів.

Дійсним n – вимірним вектором будемо називати будь-яку упорядковану послідовність з n дійсних чисел.

Вектор будемо позначати так:a=(α1, α2,… αn), де α1, α2,… αn є R. При цьому числа α1, α2,… αn будемо називати координатами або компонентами вектора . Вектор q =(0,…,0) будемо називати нульовим або нуль-вектором. Для векторів вводимо дві операції – додавання та множення на скаляри. Під сумою двох векторів a=(α1, α2,… αn), і b=(β1, β 2,… βn) будемо розуміти вектор a+b=(α1+β1, α2+ β2,… αn+ βn).

Неважко перевірити, що операція додавання векторів має такі властивості:

. Комутативність:a+b=b+a для будь-яких векторів a,b,c.

. Асоціативність: (a+b)+c=a+(b+c) для будь-яких векторів a,b,c.

. Для будь-якого вектора a a+q=q+a=a

Протилежним вектором для даного вектора a=(α1, α2,… αn) будемо називати вектор. -a=(-α1, -α2,… -αn),

. Для будь-якого вектора a a=(-a)-(-a)= q.

Поняття протилежного вектора дозволяє визначити операцію віднімання векторів, похідну від операції додавання.

Під різницею векторів a=(α1, α2,… αn), і b=(β1, β 2,… βn) будемо розуміти вектор a-b=a+(-b)= =(α1-β1, α2- β2,… αn - βn).

Визначимо тепер операцію множення вектора на скаляр. Нехай a=(α1, α2,… αn)- деякий вектор,λ є R - деяке число. Під вектором λa будемо розуміти вектор λa=(λα1, λα2,… λαn).

Числа, на які множаться вектори, будемо називати скалярами.

Операція множення векторів на скаляри має наступні властивості:

.α(βa)=(αβ)a і для будь-якого вектора a .

1a=a,0a=q, (-1)a=-a для будь-якого вектора a.

.(α+β)a= αa+βa і для будь-якого вектора a.

α(a+b)=αa+αb. і для будь-яких векторів a і b.

Множина всіх дійсних n – вимірних векторів з введеними операціями додавання та множення векторів на скаляри називається дійсним простором n – вимірних векторів і позначається Rn..