Визначники та їх властивості

Визначники та їх властивості.

З кожною квадратною матрицею порядку n пов’язане деяке дійсне число, яке називається визначником даної матриці або детермінантом (det A). Він визначається тільки для квадратних матриць.

позначення визначника.

Для обчислення визначників існують спеціальні правила. Розглянемо правила обчислення визначників 2 порядку.

.

Наприклад,

Обчислення визначників 3 порядку (правило трикутника)

Наприклад,

Властивості визначників (на прикладі визначників третього порядку).

1. Величина визначника не змінюється, якщо його рядки замінити стовпчиками, причому кожен рядок замінюють стовпчиком з тим же самим номером.

2. Якщо у визначнику поміняти місцями лише два рядки (або два стовпчики), то визначник змінює знак на протилежний, зберігаючи абсолютне значення.

3. Якщо визначник має два однакових стовпчика або два однакових рядка, то він дорівнює нулю.

4. Якщо визначник містить два пропорційних рядки (стовпчики), то значення його дорівнює нулю. Якщо елементи деякого рядка (стовпчика) дорівнюють нулю, то і сам визначник дорівнює нулю.

5. Якщо всі елементи деякого рядка (стовпчика) помножити на одне й те ж число, то значення визначника також помножиться на це число, то значення визначника також помножиться на це число. Звідси зрозуміло, що спільний множник всіх елементів рядка (стовпчика) можна винести за знак визначника.

6. Якщо кожний елемент деякого рядка (стовпчика) є сума двох доданків, то визначник можна представити у вигляді суми двох визначників: в першому з них на місці кожної суми лишається тільки перший доданок, а в другому – тільки другий доданок (інші елементи визначника зберігаються).

7. Значення визначника не змінюється, якщо до елементів деякого рядка (стовпчика) додати відповідні елементи іншого паралельного рядка (стовпчика), помноживши їх попередньо на одне й те ж число.

Якщо у визначнику викреслити - тий рядок і -тий стовпчик, на перетині яких розміщено елемент , то одержимо визначник другого порядку, який називається мінором елемента . Алгебраїчним доповненням елемента визначника називається відповідний йому мінор зі знаком, який обчислюється за таким правилом:

Ще одна властивість визначника.

8. Визначник дорівнює сумі добутків елементів деякого рядка (стовпчика) на відповідні їх алгебраїчні доповнення.

Якщо за цим правилом розкрити визначник по першому рядку, то одержимо:

.

Приклад 1. Обчислити визначник

Винесемо спільний множник елементів другого рядка (число 6) і спільний множник елементів третього рядка (число 2), а потім винесемо спільний множник елементів першого стовпця (число 3) і спільний множник елементів другого стовпця (число 4):

Обчисливши перетворений визначник

дістанемо D=6×2×3×4×2=288. Відповідь. D=288.

Приклад 2. Обчислити визначник

Обчислюємо визначник розкладаючи його за елементами третього рядка (користуючись властивістю 8).

Матриця називається оберненою до матриці А, якщо .

Звідси випливає, що обернену матрицю можуть мати лише квадратні матриці.

.

тобто, обернена матриця складається з алгебраїчних доповнень до елементів рядків, які записуються в стовпчики з відповідними номерами, а потім кожне алгебраїчне доповнення ділиться на детермінант матриці.

Приклад 1. Знайти матрицю , обернену до матриці

Розв’язок. Обчислимо визначник матриці А і алгебраїчні доповнення всіх елементів.

.

Обернена матриця має вигляд:

.

Матриця знайдена правильно, тому що:

.

Завдання для самостійної роботи

1. Обчислити визначники.

; ; ; ; .

; ;

2. Розв’язати рівняння.

; ; ; .

3. Знайти обернену матрицю.

;