Неперервність функції. Точки розриву та їх класифікація

Неперервність функції. Точки розриву та їх класифікація.

1. Неперервність функції в точці і на проміжку.

2. Точки розриву та їх класифікація.

Вперше з неперервними функціями ми зустрічались і широко використовували їхні властивості при побудові графіків найпростіших функцій, хоча сам термін “неперервна функція” не вживали, а тим більше визначення цього поняття не давали. Побудова графіків найпростіших функцій, наприклад, , або здійснюється за точками. Зокрема складають таблицю значень функції, що відповідають певним значенням аргументу, потім на площині, в якій задана система координат, будують точки, координати яких занесено в таблицю; з’єднавши відмічені точки “суцільною лінією”, дістають графік функцій. Це можна робити не завжди, а лише тоді, коли функція неперервна (тоді графік її є лінія суцільна).

Означення. Функція xÎ(a; b) називається перервною в точці x0Î(a; b), якщо границя функції в точці х0 існує і дорівнює значенню функції в цій точці:

За цим означенням неперервність функції f в точці х0 означає здійснимість таких умов:

1) функція f повинна бути визначена в точці х0;

2) для функції f повинна існувати границя в точці х0;

3) границя функції f в точці х0 збігається із значенням функції в цій точці.

Наприклад, функція f(х)=х2 визначена на всій числовій прямій і Оскільки f(1)=1, то значення f(х)=х2 в точці х=1 збігається з границею при х®1, то, згідно з означенням, функція f (х)=х2 неперервна в точці х=1.

Якщо використати означення лівої і правої границь функції, то можна дати означення лівосторонньої і правосторонньої неперервностей функції, тобто функція називається неперервною зліва в точці х0, якщо ; неперервною справа в точці х0, якщо

Наприклад, функція , де - дробова частина числа х, неперервна всюди, за винятком цілочислових значень аргументу х, в яких вона неперервна справа.

Покажемо дослідження функції на неперервність на конкретних прикладах.

Приклад 1. Дослідимо на неперервність у точці х0=0 функцію (читають “сигнум х” або “знак х”):

Згідно з заданням функції

Таким чином, f(-0)¹f(+0), тобто односторонні границі існують, але різні, тому функція не має границі і, тим більше, не буде неперервною в точці х0=0.

Приклад 2. Нехай

Дослідимо цю функцію на неперервність у точці х0=0. Оскільки для х¹0, то

Отже, границя цієї функції в точці х0=0 існує, але вона не дорівнює , бо , і тому функція не буде неперервною в точці х0=0.

Приклад 3. Нехай дано функцію

Дослідимо цю функцію на неперервність у точці х0=1.

Оскільки , то

Таким чином, ми встановили, що в точці х0=1 границя функції існує і дорівнює значенню функції, а це означає, що розглянута функція неперервна в точці х0=1.

Приклад 4. Нехай , xÎR, x¹3

Ця функція не є неперервною в точці х0=3, бо вона не визначена при х=3.

Неперервність функції на множині.

Функція називається неперервною на інтервалі (a; b), якщо вона неперервна в кожній точці інтервалу. Функція називається неперервною на відрізку [a; b], якщо вона неперервна на інтервалі (a; b), неперервна справа в точці а і неперервна зліва в точці b.

Зазначимо, що для неперервності функції на відрізку [a; b], як видно з означення, не потрібна неперервність функції на кінцях відрізка. У точках а і b (кінцях відрізка [a; b]) потрібна лише одностороння неперервність функції.

Наприклад, функція , де , є функцією, неперервному на цьому відрізку, бо вона неперервна в кожній точці інтервалу (1; 2), неперервна справа в точці х=1 і неперервна зліва в точці х=2.

2. Точки розриву.

Якщо функція неперервна в точці х0, то точка х0 називається точкою неперервності функції . У противному разі, тобто коли границя функції в точці х0 не існує або існує, але не дорівнює , функція називається розривною в точці х0, а точка х0 – точкою розриву функції . Зокрема, якщо визначена в усіх точках інтервалу (a; b), крім точки х0Î(a; b), то х0 – точка розриву функції .

Із зазначеного випливає, що в точці розриву функція може бути визначеною, але не є неперервною в цій точці (див. приклади 1, 2) і невизначеною в такій точці, хоч визначена в деякому “проколеному” околі цієї точки, наприклад, точка х0=3 в розглянутому вигляді вище прикладі 4. У першому випадку точка розриву належить області визначення функції (приклади 1, 2), у другому випадку не належить їй (приклад 4).

Точка розриву функції називається точкою розриву першого роду, якщо функція в цій точці має скінченні границі справа і зліва. У решті випадків точка розриву називається точкою розриву другого роду.

У розглянутих вище прикладах точки х0=0 (див. приклади 1, 2) є точкою розриву першого роду, а точка х0=3 (див приклад 4) – точкою розриву другого роду. Справді, якщо , то f(-0)=-1, f(+0)=1, тобто односторонні границі функції в точці х0=0 існують і скінченні. За означенням точка х0 є точкою розриву першого роду цієї функції.

Доведемо, що для функції точка х0=3 є точкою розриву другого роду. Розглянемо границі зліва і справа цієї функції в точці х0=3:

,

Таким чином, односторонні границі функції в точці х0=3 нескінченні, а це, згідно з означенням, означає, що в точці х0=3 функція має розрив другого роду.

При побудові графіків функцій, які мають точки розриву, потрібно мати на увазі таке: якщо х0 – точка розриву першого роду функції , то графік функції в точці х0 робить скінченний стрибок, який дорівнює f(x0+0)-f(x0-0) (якщо f(x0+0)¹f(x0-0) ); якщо ж х0 – точка розриву другого роду функції , то принаймні одна із границь справа або зліва в точці х0 не існує або дорівнює нескінченності. Так, у прикладі 1 графік функції робить у точці х0=0 стрибок:

f(+0)-f(-0)=1-(-1)=2.

У прикладі 4 границі зліва і справа для функції в точці х0=3 дорівнюють нескінченності.

Властивості неперервних функцій.

Теорема 1. Сума скінченного числа функцій, неперервних у точці а, є функція, неперервна в цій точці.

Теорема 2. Добуток скінченного числа функцій, неперервних у точці а, є функція, неперервна в цій точці.

Теорема 3. Відношення двох функцій, неперервних у точці а, є функція, неперервна в цій точці, якщо значення функції у знаменнику відмінне від нуля в точці а.

Теореми 1, 2, 3 випливають із відповідних теорем для границь функцій.

Приклад 1. Функція , де nÎN, неперервна на всій числовій прямій.

Справді, оскільки

то із теореми 2, враховуючи неперервність х, дістанемо, що ця функція неперервна всюди на числовій прямій.

Теорема 4. Многочлен є функція, неперервна на всій числовій прямій.

Теорема 5. Будь-яка дробово-раціональна функція неперервна в кожній точці своєї області визначення.

Наприклад, функція неперервна на всій числовій прямій, крім точки , в якій знаменник дробу обертається в нуль. Функція

неперервна всюди на R, бо знаменник ніде не обертається в нуль. Функції, неперервні на відрізку, мають ряд важливих властивостей.

Теорема 6. Якщо функція f неперервна на відрізку [a; b] і на кінцях його набуває значень різних знаків, то всередині відрізка [a; b] знайдеться хоча б одна точка, в якій ця функція обертається в нуль.

Теорема 7. Якщо функція неперервна на відрізку, то серед значень, які вона набуває на цьому відрізку, існують найменше і найбільше значення. При цьому вона набуває всі значення між найбільшим і найменшим значенням.

Завдання для самостійної роботи

1. При якому значенні а функція

буде неперервною? Побудувати її графік.

2. Дослідити функцію на неперервність і побудувати схематично її графік.

а)

б)

в)