Глава ІІІ. Звичайні диференціальні рівняння

ГЛАВА ІІІ. ЗВИЧАЙНІ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ

Диференціальні рівняння використовуються для описування неперер­вних динамічних процесів.

3.1. Диференціальні рівняння першого порядку

3.3.1. Вступні означення

Означення: Диференціальним рівнянням називається рівняння, що містить похідні шуканої функції. Найбільший порядок похідної шуканої функції називається порядком диференціального рівняння. В подальшому для скорочення запису замість слів «диференціальне рівняння» будемо використовувати позначення ДР.

Приклад: у ¢ = у — ДР першого порядка;

у ² + siny = 0 — ДР другого порядку;

у ¢¢¢ × у ¢ – у ² × у ² = 0 — ДР третього порядку.

ДР першого порядка, в загальному виді можна описувати рівнянням вида

(1)

Це ДР не розв’язане відносно похідної. Якщо рівняння (1) можна розв’язати відносно похідної, то рівняння (1) представляємо у вигляді

(2)

Це рівняння називається ДР пешого порядка, що розв’язане відносно похідної. Його можна записати у вигляді

або

.

Якщо функція f(x; y) є дробом

,

то ДР першого порядка можна записати в симетричній формі

Означення: Розв’язком ДР називається функція у = j(х) яка при підстановці в ДР замість шуканої функції перетворює його в тотожність.

Графік функції у = j(х) називається інтегральною кривою. Процес знаходження розв’язку називається інтегруванням ДР.

Приклад: ДР у ¢ = 2у має розв’язок у = е2х.

· Дійсно, підставляючи у ¢ = е2х × 2, у = е2х в ДР отримаємо тотожність е2х × 2 º2 е2х.

Як правило, ДР має нескінченну множину розв’язків.

Так, диференціальне рівняння у ¢ = 2у має розв’язок у = Се2х, де С — довільний сталий параметр.

Якщо шукана функція у = у(х) залежить від одного аргумента, то ДР для у(х) називається звичайним.

Якщо шукана функція залежить від декількох аргументів, то маємо ДР з частковою похідною. В даній главі наводяться лише звичайні ДР.

3.1.2. Задача Коши

Розглянемо ДР першого порядку

у¢ = , y)

Означення: Задача знаходження частинного розв’язку ДР у = j(х), що задовольняє рівняння:

(3) у =  при х = 

називається задачею Коши. Умови (3) називаються початковими умовами, число у0, х0 називаються навчальними значеннями.

При розв’язанні задачі Коши застосовується наступна теорема існування і єдності розв’язку ДР.

Теорема 1: Якщо функція f(x, y) неперервна в області D і задовольняє в області D умову Ліпшица

(4)

то при (х0, у0) Î D існує єдиний розв’язок ДР у = j(х), що задовольняє початкові умови (3).

Якщо в області D виконуються умови теореми існуваня і єдності, то через кожнку точку області D проходить одна інтегральна крива.

Задача Коши полягає в знаходженні інтегральної кривої, що проходять через задану точку (х0, у0).

Умови (4) можна замінити іншою умовою

Точки, в яких порушуються єдність розв’язків ДР називаються особливими. Розв’язок ДР називається особливим, якщо всі точки на цьому розв’язку особливі.

Приклад: ДР першого порядка має розв’язок у = сх. Всі інтегральні криві перетинаються в точці (0; 0), яка є особливою точкою.

Приклад: ДР має очевидний розв’язок у = 0. Цей розв’язок є особливим, бо кожну точку розв’язку проходять і один з розв’язків у = (х – с)3.

Означення: Функція у = j(х, с), що містить довільну сталу с, називається загальним розв’язком ДР у¢ = f(x, y), якщо функція у = j(х, с) є розв’язком ДР при довільному значенні сталої с, тобто

і якщо за рахунок вибору довільної сталої с можна розв’язувати задачу Коши з довільними початковими умовами, тобто рівняння у0 = j(х0, с) розв’язується відносно с.

Розв’язок вида у = j(х, с0) називається частинним розв’язком.

Приклад: ДР у¢ = y має загальний розв’язок у = Сех бо ((ех) º Сех, а рівняння у0 = Сех розв’язується відносно С, .

Означення: Якщо довільна стала в загальному розв’язку ДР виражена через початкові значення, то загальний розв’язок називається розв’язком в формі Коши.

Приклад: ДР у¢ = y має загалний розв’язок в формулі Коши.

Розв’язок ДР часто називають інтегралом ДР. Назву можна пояснити тим, що розв’язком найпростішою ДР.

,

є інтеграл від f(x).

Загальний розв’язок ДР може бути знайдений в неявній формі, у виді рівняння y(х, у) = с. Це рівняння називається інтегралом ДР. Функція y(х, у) також називається інтегралом ДР. Якщо загальний розв’язок ДР задається неявним рівнянням виду y(х, у, с) = 0, то це рівняння називається загальним інтегралом ДР.

Приклад: ДР 2xdx + 2уdy = 0 має інтеграл х2 + у2 = с.

· Дійсно, знайдемо диференціали від лівої і правої частини рівняння, d(x2 + y2) = dc Þ 2xdx + 2ydy = 0.

3.1.3. ДР сім’ї кривих

Означення: Множина кривих, що залежить від параметра, називається сім’єю кривих.

Нехай сім’я кривих описується рівнянням у = j(х, с).

Якщо виключимо параметр с із системи рівнянь

(5) ,

то одержимо ДР сім’ї кривих.

Приклад: Розглянемо множину прямих, що проходять через початок координат, і визначаються рівнянням у = Сх. (рис. 3.1).

Рис. 3.1.

Виключимо параметр С із системи рівнянь вида (5)

у = Сх, у¢ = С

і одержимо ДР у = у¢х або . Це рівняння має особливу точку (0; 0).

Задачу інтегрування ДР першого порядка можна розглядати як задачу знаходження рівняння сім’ї кривих у = j(х, с) по їх ДР.

Для наближеного знаходження сім’ї інтегральних кривих використовується графічний метод ДР першого порядка в кожній точці задає кутовий коефіцієнт дотичної до інтегральної кривої.

Якщо в кожній точці (х; у) області D на площині х, у задано напрям деякого вектора, то кажуть, що задано поле напрямів.

Оскільки ДР задає напрям дотичної, то ДР задає поле напрямів. Ті лінії, на яких дотичні мають однаковий нахил, називаються ізоклинами. Для ДР у¢ = f(x, y) ізоклини мають рівняння f(x, y) = k = const, де k — кутовий коєфіцієнт дотичної. Побудувавши графіки ізоклин, можна наближено провести інтегральні криві.

Приклад: Побудуємо графічно сім’ю інтегральних кривих для ДР у¢ = х – у. Ізоклини мають рівняння х – у = k = const. На цих прямих дотичні до інтегральних кривих мають кутовий коефіцієнт k. Побудуємо графіки ізоклин і потім проведемо наближено інтегральні криві (рис. 3.2).

Рис. 3.2.

Загальний розв’язок рівняння має вид у = х – 1 + Се–х.

3.1.4. Наближені методи розв’язування ДР

Для наближеного знаходження інтегральної кривої, що проходять через задану точку (х0; у0) існує багато аналітичних і чисельних методів. Найбільш простий чисельний метод запропонував Л. Єйлер. Викладемо ідею метода Єйлора.

Вводимо дискретині значення аргумена х

хn = x0 + nh (n = 0, 1, 2, …), h > 0

Параметр h називається кроком дискретизації або кроком інтегрування. В початковій точці (х0; у0) інтегральна крива наближено замінюється дотичною до інтегральної кривої з кутовим коефіцієнтом

у = у0 + k0(x – x0)

підставляємо х = х1 = x0 + h і знаходимо наближені значення у1 змінної у

у1 = у0 + hf(x0, y0)

Аналогічно знаходяться наближено інші точки (xn, yn) на інтегральної кривої за формули

(6) уn+1 = yn + hf(xn, yn) (n = 0, 1, 2, …)

Ця формула називається чисельним методом інтегрування Єйлора.

Більш точним методом численного інтегрування відрізняютья від методу Єйлера більшої складності. Методи Адамса враховують значення розв’язування на декілька попередніх кроків і діляться на інтерполяціонні і єкстраполяціонні. Екстраполяціонні методи використовують лише вже знайденні раніше значення чисельного розв’язування, а інтерполяціонні методи використовують ще не знайдені значення рішення, які знаходяться по деякій екстраполяціонній формулі.

Наведемо найбільш прості екстраполяціонні методи Адамса.

Застосування методів Адамса потребує розрахунків початка таблиці, що виконується спеціальною програмою або початкові значення знаходяться із аналітичного розв’язування.

, ;

, ;

, ;

(7) , .

Тут позначено .

Приведемо більш точні інтерполяційні методи Адамса.

, ;

, ;

, ;

(8) . .

Через R позначена похибка чисельного метода на одному кроці інтегрування, а у(k)(x) — похідна k-го порядка точного розв’язку у = у(х).

Найбільш часто на практиці використовуються методи типа Рунге—Кутта, зміст яких заключається в численному обчисленні правої частини f(x, у) ДР у¢ = f(x, у) в околі точки, що розглядається. Наведемо формули одного з методів Рунге—Кутта, що найчастіше застосовуються і має похибку на оному кроці .

,

(9)

Приклад: Знайдемо чисельний розв’язок ДР у¢ = у з початковими умовами х0 = 0, у0 = 1 за методом Єйлера (6), Адамса (7), Рунге—Кутта (9) при h = 0.2.

Розв’язок наведений у виді таблиці.

Таблиця 3.1

хn	Метод Єйлера	Метод Адамса	Метод Рунге—Кутта	Точний розв’язок
0,0	1,00000	1,00000	1,00000	1,00000
0,1	1,10000	1,10500	—	1,10517
0,2	1,21000	1,22115	1,22140	1,22140
0,3	1,33100	1,34977	—	1,34986
0,4	1,46410	1,49174	1,49182	1,49182
0,5	1,61051	1,64861	—	1,64872
0,6	1,77156	1,82199	1,82211	1,82212
0,7	1,94872	2,01361	—	2,01375
0,8	2,14359	2,22537	2,22552	2,22554
0,9	2,35795	2,45941	—	2,45960
1,0	2,59374	2,71806	2,71825	2,71828

В теперішній час теорія чисельних методів розвивається у зв’язку з розвитком обчислювальної техніки.

3.1.5. Наближені аналітичні методи розв’язання ДР

Щоб почати обчислення за методом Адамса потрібно обчислити декілька сусідніх значень уn. Для цього можна використовувати розклад шуканого розв’язку за формулою Тейлора

Значення похідних обчислюється за допомогою диференціювання диференціального рівняння у¢ = f(x, y).