2.3. КРАТНІ ІНТЕГРАЛИ
2.3.1. Криві на площині
Нехай l — крива на площині Оxy, параметричні рівняння котрої x = j(t), 
, 
.
Означення: Крива l називається гладкой, якщо:
1) функції 
неперервно диференційовні на [a; b] і 
, 
;
2) l не має точок сампоперетину.
Якщо l — замкнена крива, тоді 
, 
, а також 
, 
.
Вектор 
є напрямляючим вектором дотичної до кривої l в точці 
.
Рис. 1
Нехай крива l задана рівнянням 
, 
.
Означення: Крива називається гладкою, якщо функція має неперервну похідну 
, 
. Крива, утворена кінцевим числом гладких кривих і не має точок самоперетину, називається кусочно-кладкою.
Приклад:
2.3.2. Задачи, що призводять до подвійного інтегралу
Задача 1. Обсяг криволінійного циліндра.
Нехай 
— невід’ємна, неперервна в замкненій обмеженій області D функція, тобто 
, 
. В тримірному просторі рівняння 
визначає деяку поверхню S, проекція котроя на площину 0ху співпадає з D (рис. 2). Треба знайти об’єм V тіла Т, обмеженного зверху поверхнею S і знизу областю D з межею g і циліндром поверхнею з напрямляючею g і твірноки, паралельними вісі oz. Таке тіло називається криволінійним циліндром.
Розіб’ємо область D на n часткових областей Di з кусочно-гладкими границями gі, і = 1, 2, …, n. Через границю Гі проведемо циліндричну поверхню з твірними, паралельними осі oZ. Ці поверхні розіб’ють тіло Т на n стовпчиків Ті, обсяг кожного з яких наближено дорівнює 
, і = 1, 2, …, n, де 
— довільна точка області Di; 
— площа області Di. Тоді обсяг всього тіла T наближено представимо сумою
.
Нехай di — діаметр області Di, а 
. Тоді точне значення об’єма має вигляд
. (1)
Границя (1), якщо існує, позначається 
і називаються подвійним інтегралом від функції 
по області D. Таким чином
Об’єм криволінійного циліндра, обмеженого поверхнею 
, 
, областю D циліндричною поверхнею з напрямляючою g і твірними паралельними осі OZ
. (2)
Рис. 2 Рис. 3
2. Маса плоскої пластинки. Нехай D — плоска пластинка, по поверхні якої неперервно розподілена маса з щільністю 
. Треба знайти масу пластинки.
Розіб’ємо пластинку D за допомогою кусочно-гладких дуг довільним чином на n частин Di (рис. 2).
Припускаючи що щільність r в кожній частині Di сталої і рівної 
, де 
— довільна точка Di, одержуємо наближену масу частини Di:
,
де — площа Di. Тоді маса всієї пластинки D наближено дорівнює 
. Точна маса m всієї пластинки виражається граничним переходом при 
, тобто
.
Означення подвійного інтегралу. Нехай в області D з кусочно-гладкою межею g задана неперервна функція f(x, y). Розіб’ємо область D кусочно-гладкими дугами на n часткових областей Di, площа яких DSi, і = 1, 2, …, n.
В кожної часткової області Di виберемо довільну точку і утворимо суму
.
яка називається інтегральною сумою Римана.
Позначимо через D найбільший з діаметрів області Di і назовемо його діаметром розбиття. Якщо існує границя
,
яка не залежить ані від способу розбиття області D на частини Di, ані від вибору точок 
, то функція 
називається інтегровною по Ріману в області D, а сама границя називається подвійним інтегралом від функції по області D в позначається 
.
Відмітимо, що інтеграл від функції f(x; y) за областю D є деяке число. Крім того, виконується рівність
,
тобто для інтеграла не має значення, якими літерами позначені аргументи функції f(x).
Границя (4) не залежить від способу розбиття області D на Di і вибору точок . Отже, якщо границя (4) існує, можна область D розбивати на частини Di, прямими, що паралельні вісям координат (рис. 2).
Рис. 4
Нехай Dij — прямокутник зі сторонами
. Його площина Sij дорівнює DxiDyj.
Інтегральна сума що відповідає такому розбиттю області D, має вигляд
, 
, 
.
Тоді, згідно з рівністю (4), отримаємо
(5)
Основні теореми:
Теорема. Для того щоб функція f(x; y) була інтегрована в області D необхідно щоб f(x; y) була обмежена на D.
Теорема. Нехай функція f(x; y) неперервна в обмеженій області D, тоді подвійний інтеграл існує.
Теорема. Нехай D — обмежена замкнена область і f(x; y) — функція визначена і неперервна в усіх точках цієї області, за виключення може бути, точки, що належать кінчевому числу кусочно-гладких ліній, що належать D. Тоді інтеграл (5) існує.
Властивості подвійного інтеграла:
1. 
, S — площа області D. (6)
▲ Покладаючи в рівності (5) 
, отримаємо
.
2. 
.
a, b = const.
¨ За означенням,
3. Нехай 
, 
(рис. 2).
Тоді
Рис. 2 (5)
¨ Нехай D1 — клітини розбиття . Позначимо через 
— клітини розбиття, що належать D1, а через Di2 — клітини що належать D2.
Тоді,
(n = n1+n2).
4. Якщо , , то
(9)
5. Якщо 
, , то
. (10)
6. 
. (11)
¨ Очевидно, виконується нерівність
.
Отже за властивістю S
.
Звідси матимемо нерівність (11)
7. Нехай 
.
Тоді
(12)
S — площа області D.
¨ Дійсно, має місце нерівність
.
Отже,
і за властивостями 1 і 2 матимемо нерівності (12).
8. Нехай D — прямокутник а £ х £ b, с £ х £ d. 
. Тоді
(13)
¨ Прямими, що паралельні осям координат розбиваємо прямокутник D на паралельні прямокутники Dij, площі яких дорівнюють 
, і = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n.
Згідно, з рівностю (5), отримаємо
.
Рис
9. Теорема про середнє. Нехай — функція неперервна в обмеженій замкненій зв’язної області D. Тоді існує точка (x; h) така, що
(14)
S — площа області D.
¨ З нерівності (12) матимемо
(15)
Нехай точки А = (х0; у0), В = (х1; у1) Î D
Зв’яжемо точки А і В неперервною кривою х = х(t) i y = y(t), t Î [a; b], такий що х(a) = х0, у(a) = у0, х(b) = х1, у(b) = у1.
В точках цієї кривої значення функції 
однієї змінної t утворюють відрізок [m; M]. За теоремою част. І, вона приймає і всі проміжкові значення між m i M. Згідно нерівності (15), число
Тоді знайдеться таке t0, що
,
де 
, 
.
Число
(16)
називається середнім значенням функції в області D.
Нехай S — площа області D, а 
— її маса. Тоді середня площина речовини в D, дорівнює 
.
Згідно рівності (14)
,
де 
.
При стяжінні області D в точку 
внаслідок неперервності функції отримаємо співвідношення
Ця границя називається похідною подвійного інтеграла за областю D в точці 
.
Якщо f(x; y) — неперервна в області D функція, то похідна подвійного інтеграла за областю інтегрування дорівнює підінтегральній функції.
І. Випадок прямокутної області
Нехай область інтегрування є прямокутник
зі сторонами паралельними координатним осям (рис. 2) і — неперервна в цієї області функція. Якщо зафіксувати 
, то функція буде неперервною функцією змінної х. Отже, існує інтеграл 
, який є неперервною функцією змінної . Отже функцію 
можна інтегрувати на відрізку 
. Отже отримаємо повторний інтеграл
(1)
Цей процес можна здійснити в оберненому порядку: спочатку обчислити функцію від х, визначену рівністю 
, а потім функцію 
проітегрувати по х від a до b. В результаті отримаємо повторний інтеграл
(2)
Теорема. Нехай функція неперервна в замкненому прямокутнику D. Тоді має місце нерівність
(3)
Приклад. Обчислити інтеграл
.
Матимемо
