Визначений інтеграл, як границя інтегральної суми. Формула Ньютона – Лейбніца.

1. Визначений інтеграл, як границя інтегральної суми.

2. Формула Ньютона – Лейбніца.

3. Властивості визначеного інтеграла.

До поняття визначеного інтеграла приводить задача знаходження площі криволінійної трапеції.

Нехай на деякому інтервалі [а;b] задана неперервна функція

Побудуємо її графік і знайдемо площу фігури, обмеженою цією кривою, двома прямими х=а, х=b, а знизу - відрізком осі абсцис. Ця фігура називається криволінійною трапецією. Розділимо інтервал [a;b] на n частин точками х1,х2, ...хn-1 . Із точок поділу проведемо перпендикуляри до осі Ох. Вся площа розіб’ється на ряд частинних площ. Позначимо кожний частинний інтервал і його довжину через В середині кожного інтервалу виберемо точку , i=1, 2, 3...n і обчислимо значення функції в цих точках f(), f(), ...f().

Складемо добутки f() f()...f()

Кожен такий добуток визначає площу прямокутника з основою і висотою

i = 1,2,3…n.

Сума називається інтегральною сумою функції f(x) на інтервалі [a;b]. Ця сума визначає площу ступінчатої фігури. Границя цієї суми при називається визначеним інтегралом:

а і b – нижня і верхня межа інтегрування. f(x) – підінтегральна функція, х –змінна інтегрування.

За означенням,

Визначений інтеграл дає точне значення площі криволінійної трапеції, обмеженої графіком функції у=f(х), віссю Oх і двома прямими х=а, х=b. Він не залежить від змінної інтегрування.

2. Формула Ньютона – Лейбніца.

Нехай нам дана функція , неперервна на [а; b] і яка має первісну. Побудуємо графік функції у=f(x), і візьмемо на кривій точки А і В. Припустимо що точка А нерухома і її координати (а; f(a)), а точка В рухається і її координати (х; f(x)). Тоді площа криволінійної трапеції А1АВВ2 є змінною величиною:

, або

Знайдемо постійну С.

, тоді

або

- формула Ньютона - Лейбніца.

Отже щоб обчислити визначений інтеграл потрібно:

1) Знайти невизначений інтеграл від даної функції, поклавши С=0

2) Підставивши у первісну замість аргументу х спочатку верхню межу, а потім нижню, і від першого результату відняти другий.

Наприклад,

2 Властивості визначеного інтеграла

1. Нехай b<a, функція f(x) – інтегрована на [b, а], тоді за означенням:

2. Якщо функція f(x) інтегрована на [а, b], то функція , де - постійна теж інтегрована:

3. Якщо дві функції f(x) i (x) інтегровані на [а, b],то їх сума і різниця теж інтегровані на [а, b]:

Завдання для самостійної роботи

1. Використовуючи формулу Ньютона – Лейбніца, обчислити інтеграли:

а); б); в);

г); д).