Розв’язання задачі про спостереження

§ 6. Розв’язання задачі про спостереження

Продовжимо вивчення властивостей операції . Нехай вибрані та зафіксовані деякі значення та . Сигнали , як і раніше, вважаємо елементами деякого простору . Розглянемо множину тих функцій із , які є реалізаціями сигналу , що несе сигнал .

Перевіримо наступне твердження.

Властивість 3. Операція тоді і тільки тоді розв’язує задачу 1, §1, коли ця операція задовольняє рівність

(6.1)

на довільному сигналі .

Необхідність (6.1) очевидна із визначення розв’язуючої операції та сигналу . Доведемо достатність. Нехай деяка операція задовольняє (6.1). Треба показати, що виконується рівність

(6.2)

для будь-якого . Розглянемо сигнал , який відповідає фазовому вектору . При побудуємо вектор . Оскільки і зв’язані лінійно, то фазовому вектору відповідає сигнал , що несе , і згідно з (6.1) будуть виконуватися рівність і потрібно рівність

, (6.3)

і умова (6.2) виконується. Якщо , то разом з цим вектором розглянемо вектор , де . Цим фазовим векторам відповідають сигнали і , причому

і

.

Звідси випливає, що .

З доведеного твердження випливає, що для розв’язання задачі 3, §4, потрібно знайти операцію , яка задовольняє умові (6.1), тобто на множині набуває значення, рівне одиниці, і при цьому має найменшу можливу норму. Множина плоска і маємо задачу, пов’язану з проблемою моментів. Замінимо множину , визначену рівностями (5.2), (5.3), на множину , яка складається з сигналів . Розв’язок задачі отримаємо одразу, замінивши на сигнал . Роль мінімальної функції буде відігравати мінімальний сигнал , який визначається з умови

.

Будемо мати основне правило для розв’язання задачі 3, §4.

Правило мінімаксу. Для розв’язання задачі 3, §4, потрібно при кожному та знайти серед сигналів мінімальний сигнал . Необхідною і достатною умовою існування розв’язку задачі є нерівність

.

(Ця умова справедлива і для задачі 1, §1).

Оптимальна розв’язуюча операція має норму

і серед інших лінійних операцій має властивість максимуму – на мінімальному сигналі ця операція дає найбільший можливий результат у порівнянні з іншими операціями, які мають таку ж саму норму:

при .

Перейдемо тепер до знаходження операцій , які відновлюють координати фазового вектора керованої системи

(6.4)

за сигналом так, щоб виконувалися рівності

. (6.5)

Використаємо для цього знайдену розв’язуючу операцію для задачі 3, §4, в якій . Це операція . Оскільки , то

. (6.6)

Довільний рух системи (6.4) описується формулою Коші

, (6.7)

де – імпульсна перехідна функція, тобто це матриця, стовпчики якої є вектори

В рівності (6.5) сигнал визначається рівністю

. (6.8)

Враховуючи лінійність операції із (6.6) і (6.7), отримаємо

. (6.9)

Міняючи змінні і місцями в останньому доданку рівності (6.9), складемо такий вираз:

, (6.10)

де операція в першому доданку виконується над функцією , а в другому – над функцією

. (11)

Вираз у правій частині виразу (6.10) можна розглядати як лінійну операцію над сигналом , що дозволяє записати ліву частину (6.10) у формі . Із рівності (6.9) одразу випливає, що операція (6.10) задовольняє умові (6.5).