Дослідження періодичних розв’язків імпульсних систем у скінченновимірному просторі

УДК 519.711

, асистент

ДОСЛІДЖЕННЯ ПЕРІОДИЧНИХ РОЗВ’ЯЗКІВ ІМПУЛЬСНИХ СИСТЕМ

У СКІНЧЕННОВИМІРНОМУ ПРОСТОРІ

У статті чисельно-аналітичним методом побудовано періодичні розв’язки нелінійних систем диференціальних рівнянь з імпульсним впливом у скінченновимірному просторі.

Ключові слова: диференціальне рівняння з імпульсним впливом, чисельно-аналітичний метод, керування , періодичний розв’язок.

Постановка задачі.

Нехай – евклідів простір. Елемент де – замкнута, обмежена область простору . Функція неперервна (кусково-неперервна по t з розривами першого роду при ), – неперервні функції, визначені при

Функція є Т-періодичною по t рівномірно відносно , а функція і моменти такі, що

при всіх і при деякому натуральному р.

Припустимо також, що функції і задовольняють умову Ліпшиця по рівномірно відносно

з сталими Ліпшиця і .

Нехай

Під d-околом точки будемо розуміти множину точок , для яких .

Періодичні нелінійні диференціальні рівняння, піддані імпульсному впливу, подамо у вигляді:

(1)

Вважатимемо, що система рівнянь (1) є Т-періодичною по t[1].

Чисельно-аналітичний метод Самойленка полягає у тому, що для системи рівнянь з імпульсним впливом вводиться керування , таке, що дана система має Т-періодичний розв’язок. Значення залежить від початкового значення розв’язку. Але початкове значення розв’язку треба так підібрати, щоб в результаті знаходження розв’язку системи дорівнювало нулю [2].

Метою роботи є з’ясування питання про існування періодичних розв’язків нелінійних імпульсних систем диференціальних рівнянь (1).

Допоміжні твердження.

Лема 1. Нехай в системі рівнянь

(2)

функція є Т-періодичною, а сталі вектори і послідовність моментів такі, що . Тоді існує сталий вектор , при якому розв’язок рівняння (2), що проходить при t=0 через задану точку , є Т-періодичним.

Дійсно, проінтегрувавши рівняння (2), переконуємося, що за слід взяти вектор

.

Позначимо через інтегральне середнє функції на проміжку , тобто

.

Основний результат.

Перейдемо до побудови періодичних розв’язків системи рівнянь (1). Припустимо, що система рівнянь (1) має Т-періодичний розв’язок і відома точка , через яку даний розв’язок проходить при t=0. Алгоритм побудови цього розв’язку вказує теорема.

Теорема 1. Якщо система рівнянь (1), яка задовольняє вказані вище умови, має Т-періодичний розв’язок , що проходить через точку , то цей розв’язок є границею рівномірно збіжної послідовності періодичних функцій

визначених на періоді за формулою

.

де

Питання існування періодичних розв’язків системи виду (1) пов’язане із питанням нулів функції

.

Однак відшукати функцію практично неможливо, тому постає задача: як, виходячи з функцій

,

твердити про існування нулів функції , а, як наслідок, розв’язати питання існування періодичних розв’язків рівнянь (1)?

Дану задачу можна розв’язати за допомогою наступної теореми.

Теорема 2. Нехай для системи рівнянь з імпульсним впливом (1) виконуються умови: а) для деякого цілого числа відображення має ізольовану особливу точку, тобто є ненульовим індексом; б) існує замкнута опукла область з єдиною особливою точкою така, що на її границі виконується нерівність

,

де – додатне власне число матриці

. (3)

Тоді система рівнянь (1) має Т-періодичний розв’язок , для якого .

Доведення. Індекс ізольованої особливої точки неперервного відображення характеристично рівний векторному полю, породженому цим відображенням на сфері досить малого радіуса з центром в . Оскільки в міститься лише одна особлива точка і гомеоморфна кулі із , то характеристика векторного поля на сфері дорівнює характеристиці цього ж поля на . Векторні поля і гомотопні на . Останнє випливає з того, що неперервно залежна від параметра сім’я скрізь неперервних на векторних полів

які з’єднують поля і , ніде не перетворюється в нуль. Дійсно, маємо

.

Звідси з урахуванням (3) випливає, що при всіх

Оскільки характеристики гомотопних на компакті полів рівні, то характеристика на поля рівна індексу особливої точки і знаходження області , на межі якої виконується нерівність (3). У двовимірних системах рівнянь (1) визначити індекс завжди можна. Для простору розмірності, більшої ніж 2, підрахунок індексу ускладнюється. Однак і в цьому випадку існує ряд ряд критеріїв, які дозволяють зробити висновок, чи відмінний індекс від нуля.

Так, якщо функція неперервно диференційована в околі точки і , то індекс точки відмінний від нуля.

Вибір області , на межі якої повинна виконуватись нерівність (3), може бути дещо довільним. В тому числі, для періодичних за часом систем з імпульсним впливом в стандартній формі

де – малий додатній параметр, областю може бути будь-яка достатньо малого радіуса куля з центром в ізольованій особливій точці.

Теорему доведено.

Список використаних джерел:

1. , Дифференциальные уравнения с импульсным воздействием. – Киев.: «Вища школа», 1987. – 287 с.

2. Численно–аналитический метод исследования периодических систем обыкновенных дифференциальных уравнений. II // Укр. мат. журн., 1966, 18, № 2, с. 50–59.

In the article numeral analytical the method of A. M.Samoylenko is build the periodic upshots of the nonlinear systems of differential equalizations with impulsive influence in скінченновимірному space.

Key words: differential equalization with impulsive influence, numeral analytical method, management, periodic decision.