Приклади розв’язування рівнянь

§4.2 Приклади розв’язування рівнянь

Приклад 1. Розв¢язати інтегральне рівняння

. (4.13)

Розв¢язання. Запишемо рівняння в наступному вигляді

.

Введемо позначення:

, (4.14)

де c1, c2 - невідомі сталі. Тоді (4.13) набуває вигляду

. (4.15)

Підставимо (4.15) в (4.14), дістанемо

чи

Обчислимо інтеграли, які входять в ці рівняння й одержимо систему алгебраїчних рівнянь для знаходження невідомих c1, c2:

(4.16)

Визначник цієї системи: .

Система (4.16) має єдиний розв¢язок, який знаходимо за правилом Крамера. Маємо

. (4.17)

Підставимо (4.17) в (4.15) й одержимо розв¢язок даного інтегрального рівняння:

.

Приклад 2. Розв¢язати інтегральне рівняння

. (4.18)

Розв¢язання. Рівняння (4.18) запишемо у вигляді

чи

, (4.19)

де

. (4.20)

На підставі (4.19) рівняння (4.20) набувають вигляду

Вони еквівалентні наступним рівнянням

Звідси отримаємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь для знаходження невідомих с1, с2:

(4.21)

Визначник цієї системи: .

Система (4.21) має єдиний розв¢язок коли , тобто . Тоді

. (4.22)

Підставимо (4.22) у (4.19) і одержимо розв¢язок інтегрального рівняння (4.18): .

Якщо , то з (4.21) випливає, що розв¢язків взагалі не існує.

Якщо , то враховуючи (4.21) знайдемо: с1 - довільна стала, . А шукана функція має вигляд .

Приклад 3. Розв¢язати інтегральне рівняння

.

Розв’язання. Це рівняння з виродженим ядром і . Отже

,

де - невідомі сталі. Для них маємо систему алгебраїчних рівнянь

Розв’язавши її, дістанемо , а тому .

Приклад 4. Розв¢язати інтегральне рівняння

. (4.23)

Розв’язання. Маємо , ядро - вироджене, а тому

,

де - невідома стала. Для неї маємо рівняння

.

Як бачимо, це рівняння має безліч розв’язків, отже інтегральне рівняння (4.23) таж має безліч розв’язків .

Приклад 5. Розв¢язати інтегральне рівняння

.

Розв’язання. Дане рівняння має вироджене ядром: , . Отже , де - невідома стала. Для неї маємо рівняння . Оскільки це рівняння не сумісне, а отже не має розв’язків, то і розглянуте інтегральне рівняння не має розв’язків.