Лекція 3

Лекція 3

Інтегровні типи д-р 1-го порядку, розвязаних відносно похідної.

а). Неповні р-ня. ДР, яке не містить шуканої функції.

Має вигляд

, (2.33)

Припустимо, що f(x) являється неперервною на функцією.

Тоді ф-я

(2.34)

являэться загальним розв`язком д-р (1) в області a < x < b, -< y < + .(2.35)

Особливих розвязків ДР (2.33) немає.

Разом з ДР (2.33) розглянемо початкові умови (2.36)

Проінтегруємо ДР (2.34) від до x

Знаходимо с з умови (2.36)

(2.37) - загальний розвязок ДР (2.33) в формі Коші.

Якщо f(x) - неперервна на за виключенням точки , в якій приймає нескінченне значення, то замість ДР (2.34) будемо розглядати р-ня

(2.331)

Пряма являється розвязком ДР (2.331) і ми цей розвязок повинні приєднати до розвязку ДР (2.33). Цей розвязок може бути частинним або особливим в залежності від того зберігається чи порушується в будь-якій його точці єдність. Якщо - частинний розвязок, то його часто можна отримати з загального при нескінченних заначеннях с, якщо ж він являється особливим, то його отримують з загального при .

Р-ня, яке не містить незалежної змінної має вигляд

(2.38)

Припускаємо, що ф-я визначена і неперевна на інтервалі . Замість (2.38) розглянемо ДР

(2.39)

ДР (2.39) не містить шуканої функції і воно розвязується аналогічно ДР (2.33).

Якщо , y є (c,d), то

(2.40) – загальний рохвязок ДР (2.39) в області

c < y < d, -< x < + .

Аналогічно (2.41) - загальний інтеграл в формі Коші.

Якщо неперервна на (c,d) і приймає нульове значення при , то ми повинні розглядаті ДР (2.38). Розвязок буде частинним, якщо в кожній його точці зберігається єдиність, і осоюливим, якщо в кожній його точці порушується єдиність. Якщо частинний розвязок, то ми його отримуємо при нескінченних значеннях , якщо особливий, то при .

Якщо в тоцчі перетворюється в нескінченність , то розглянемо ДР (2.39), яке має неперервну праву частину на (c,d). При цьому ДР на має єдиний розвязок .

Пр. 2.5

Розглянемо ДР .

Область визначення : .

Поскільки в т. дотичні паралельні осі OY, то розвязок в єдиний , .

б) Рівняння з відокремлюванними змінними.

Розглянемо р-ня в диференціалах виду

(2.42),

де - неперервні ф-ї своїх аргументів.

Деференціальне р-ня (2.42) називається р-ням з відокремленими змінними. Його можна переписати данним чином . Звідки маємо загальний розвязок в квадратурах. (2.43).

Якщо треба записати розвязок задачі Коші, то записують так . З умови (2.36) визначають . Отже (2.44) – розвязок задачі Коші (2.36), (2.42). При данних припущеннях особливих розвязків ДР (4.42) не має.

Рівняння вигляду

(2.45) –

називають р-ням з відокремлюваними змінними.

Припустимо, що , тоді розділемо обидві частини рівняння (2.45) на , отримуємо

(2.46).

Аналогічно записуємо

(2.47) –

загальний розвязок ДР (2.45) і

(2.48) –

розвязок задачі Коші (2.36) , (2.45). При діленні на ми можемо загубити розвязки, які визначаються рівняннями ,. Дійсно, нехай , то

отже - розвязок ДР (2.45).

Аналогічно .

Якщо ці розвязки не входять в (2,47) при деяких , то вони представляють собою особливі розвязки ДР (2.45).

З розвязку ми повинні викинути точку , так як в точці ДР (2.45) не визначає нахил поля . По тій же причині з розвязку викидають точку .

Таким чином розвязки і примикають до точки і можуть бути особливими. Других особливих розвязків не має.

Пр. 2.6.

Знайти загальний розвязок ДР:

.

Розвязок:

. .

.

.

.

.

в). Однорідні і узагальнено-однорідні ДР.

Розглянемо р-ня в диференціалах

(2.5),

в якому ф-ії і являються однорідними функціями одніеї і тієї ж степені однорідності.

Означення 2.4: ф-я називаеться однорідною степеню ,

якщо (2.49).

Якщо (2.49) виконуються при , то ф-я називаеться додатню-однорідною.

Однорідне р-ня завжди можна звести до рівняння вигляду

(2.50),

в якому функція однорідна функція нулбового виміру.

Однорідні рівняння завжди інтегруються в квадратурах заміною (2.51). При цьому р-ня (2.5) приводиться до рівняння з відокремлюваними змінними. Дійсно

,

,

,

,

,

,

(2.52), де .

При діленні ми могли загубити розвязок , де - корені рівняння (2.53).

Отже півпрямі примикають до початку координат. Ці розвязки можуть міститися в формулі загального розвязку, але можуть бути і особливими. Особливими можуть бути також півосі осі . Других особливих розвязків ДР (2.5) не має.

Рівняння вигляду(2.54) зводиться до однорідного. Якщо , то це однорідне рівняння.

Припустимо, що хоч одне з чисел не дорівнюють 0. Можливі два випадки:

Перший) Проводимо заміну (2.55), де - нові змінні, - параметри. Тоді (2.56).

Параметри вибираємо згідно системи (2.57). Так як то система (2.57) має єдиний розвязок. Таким чином, ми прийшли до однорідного ДР (2.58).

Другий) . В цьому випадку , тобто . Тому (2.59)

Заміною ДР (2.59) приводимо до рівняння з відокремленими змінними (2.60).

Пр 2.7 Знайти загальний розвязок ДР

Це однорідне рівняння, . Зробимо заміну ,

, .

Отже - загальний розвзок нашого рівняння.

ДР (2.5) називається узагальнено-однорідним, якщо існує таке число , при якому ліва частина цього ДР (2.5) стає однорідною функцією від велечин в припущенні, що __ мають віжповідно виміри: перший, -ий, нульвий, -ий. При має просто однорідне рівняння.

В цьому випадку ДР (2.5) заміною (2.61) зводитьчя до р-ня з відоктремлюванними змінними. При р-ня (2.5) являється р-ням з розділеними зміними. Особліви розвязки досліджуються аналогічно.

Пр 2.8 Розвязати ДР:

Знайдемо чило для данного випадку . Отже , ,формула

Звідки загальний розвязок.

г) Лінійні р-ня порядку.

ДР вигляду (2.62) називаються лінійними ДР порядку.

При воно називається однорідним

Формула (2.63). Так як ліва частина ліній на і однорідна відносно і . Р-ня (2.62) при називається неоднорідним. ДР (2.63) інтирується в квадратурах, так як воно являється ДР з відокремлюваними змінними.. Звідки (2.64).

Якщо то (2.65)

Загальні властивості ОДР :

- Якщо та неперервні, то згідно теореми Пікара розвязок задачі Коші для ДР (2.63) існує і являється єдиним;

- ЛДР (2.63) не має особливих розвязків;

- ІК ОДР (2.63) не можуть пееретинати вісь , так як в противному випадку нарушалися б умови єдиності розвязку задачі Коші;

- ДР (2.63) інваріантно відносно перетворення ;

Дійсно: формула , .

- ДР (2.63) іваріантно відносно заміни (2.66) де -новазмінна, та - неперервні ф-ї, на . Тоді . Якщо - частинний розвязок ДР (2.63), то (2.67), де - константа, являється загальним його розвязком. Справедлива теорема.

Теорема (2.3) (про структуру розвязку лінійного неоднорідного ДР): Якщо - частинний розвязок неоднорідного ДР (2.62), а ДР (2.64)- загальний розвязок ОДР (2.63) то сума (2.68) являється загальним розвязком неоднорідного ДР (2.62).

Теорема доводиться безпосередньою подстановкою (2.68) в

р-ня (2.62).

Якщо відомо два частинних розвязки ДР (2.62), то загальний його розвязок записується без квадратур (2.69).

Розглянемо два методи интигрування неоднорідного ДР (2.67).

Метод Лагранжа (варіації довільної сталої).

Розвязок шукаємо у вигдяді (2.70). Підставимо (2.70) в (2.62). . Звідки ,

. Остаточно маємо (2.71).

загальний розв’язок ДР (2.62), який записаний через дві квадратури. Довільна стала входить завжди в загальний розв’язок лінійно.

Метод Ейлера заключається в тому, що ліва частина ДР (2.62) представляється у вигляді точної похідної шляхом домноження на деяку функцію Визначимо звідки тобто (ф-я) називається інтерувальним множником). Тому (2.72) звідки. З останнього співвідношення отримуємо ф-лу (2.71).

Загальний розв’язок при умові можна записати в Формі Коші .

Пр.2.9 Знайти загальний розв’язок ДР

Це лінійне однорідне ДР .

Пр.2.10 Розв’язати ДР .

За формулою (2.71)

д) Рівняння Бернуллі Це рівняння має вигляд (2.74)

Рівняння (2.74) завжди інтегрується в квадратурах шляхом підстановки (2.75). Так як , то домножимо (2.74) на , маємо (2.76) яке вже являється лінійним.

При рівняння Бернуллі має особливий розв’язок. При розв’язок міститься в загальному розв’язку при. При не являється розв’язком ДР (2.74)

Пр.2.11 Розв’язати ДР , , ,. Отже - загальний розвязок нашого р-ня.

Відомо, що деференц. – ліннійне р-ня.

Р-ня зводиться до лінійного заміною.