Правильні многокутники та їх властивості

9 клас

ПРАВИЛЬНІ МНОГОКУТНИКИ ТА ЇХ ВЛАСТИВОСТІ

Означення. Многокутник називають правильним, якщо у нього всі сторони рівні і всі кути рівні.

З деякими правильними многокутниками ви вже знайомі: рівносторонній трикутник — це правильний трикутник, квадрат — це правильний чотирикутник.

На рисунку зображено правильні п’ятикутник і восьмикутник:

Теорема 6.1. Правильний многокутник є опуклим многокутником.

З доведенням цієї теореми ви можете познайомитися в додаткових матеріалах до цієї теми.

Кожний кут правильного n-кутника дорівнює .

Дійсно, оскільки сума кутів опуклого n-кутника дорівнює 180°(n – 2) і всі вони рівні, то кожний з них дорівнює .

Теорема 6.2. Будь-який правильний многокутник є одночасно вписаним і описаним, причому центри описаного і вписаного кіл збігаються.

Доведення.

На рисунку зображено правильний n-кутник A1A2A3...An.

 Проведемо бісектриси кутів A1 і A2. Нехай O — точка їх перетину.

 З’єднаємо точки O і A3.

Оскільки в трикутниках OA1A2 і OA2A3 Ð2 = Ð3, A1A2 = A2A3 і OA2 — спільна сторона, то ці трикутники рівні за першою ознакою рівності трикутників. Крім того, кути 1 і 2 рівні як половини рівних кутів. Звідси трикутник OA1A2 — рівнобедрений, а отже, рівнобедреним є трикутник OA2A3. Тому OA1 = OA2 = OA3.

З’єднуючи точку O з вершинами A4, A5, ..., An – 1, An, аналогічно можна показати, що OA3 = OA4 = ... = OAn – 1 = OAn.

Таким чином, для многокутника A1A2A3...An існує точка, рівновіддалена від усіх його вершин. Отже, ця точка O — центр описаного кола.

Оскільки рівнобедрені трикутники OA1A2, OA2A3, OA3A4, ..., OAn – 1An, OAnA1 рівні, то рівні й висоти, проведені з вершини O. Звідси доходимо висновку, що точка O рівновіддалена від усіх сторін многокутника. Отже, точка O — центр вписаного кола.

Точку, яка є центром описаного і вписаного кіл правильного многокутника, називають центром правильного многокутника.

На рисунку зображено фрагмент правильного n-кутника з центром O і стороною AB, довжину якої позначимо an.

Кут AOB називають центральним кутом правильного многокутника. Зрозуміло, що ÐAOB = .

У рівнобедреному трикутнику AOB проведемо висоту OM. Тоді ÐAOM = Ð BOM = , AM = MB = . З DOMB і .

Відрізки OB і OM — радіуси описаного і вписаного кіл правильного n-кутника. Якщо їх довжини позначити R і r відповідно, то отримані результати можна записати у вигляді формул:

Підставивши у ці формули замість n числа 3, 4, 6, отримаємо формули для знаходження радіусів описаного і вписаного кіл для правильних трикутника, чотирикутника і шестикутника:

Кількість сторін правильного n-кутника	n = 3	n = 4	n = 6
Радіус описаного кола			R6 = a
Радіус вписаного кола

З отриманих результатів випливає, що сторона правильного шестикутника дорівнює радіусу його описаного кола.

Звідси отримуємо простий алгоритм побудови правильного шестикутника: від довільної точки M кола треба послідовно відкладати хорди, які дорівнюють радіусу :

Таким чином отримуємо вершини правильного шестикутника.

Сполучивши через одну вершини правильного шестикутника, отримаємо правильний трикутник:

Для побудови правильного чотирикутника достатньо в колі провести два перпендикулярних діаметри AC і BD :

Тоді чотирикутник ABCD — квадрат (доведіть це самостійно).

Якщо вже побудовано правильний n-кутник, то легко побудувати правильний 2n-кутник. Для цього треба знайти середини всіх сторін n-кутника і провести радіуси описаного кола через отримані точки. Тоді кінці радіусів і вершини даного n-кутника будуть вершинами правильного 2n-кутника.

На рисунках показано побудову правильних 8-кутника і 12-кутника:

Приклад 1.

Чи існує правильний многокутник, кут якого дорівнює:

1) 177°;

2) 155°?

У випадку позитивної відповіді вкажіть вид многокутника.

Розв’язання.

1) Нехай n — кількість сторін шуканого правильного многокутника. Тоді сума його кутів дорівнює 180°(n – 2) або 177°n. Отже,

180°(n – 2) = 177°n;  180°n – 360° = 177°n; n = 120.

Відповідь: Існує, це стодвадцятикутник.

2) Маємо: 180°(n – 2) = 155°n; 25°n = 360°; n = 14,4, що неможливо, оскільки n має бути натуральним числом.

Відповідь: Не існує.

Приклад 2.

У коло вписано правильний трикутник зі стороною 18 см. Знайдіть сторону правильного шестикутника, описаного навколо цього кола.

Розв’язання.

Радіус кола, описаного навколо правильного трикутника, обчислюється за формулою , де a — сторона трикутника:

 Отже,  (см).

За умовою радіус кола, вписаного в правильний шестикутник, дорівнює радіусу кола, описаного навколо правильного трикутника, тобто r6 = R3 =  см. Оскільки , де b — сторона правильного шестикутника, то b =  = 12 (см).

Відповідь: 12 см.

Додаткові матерали

Ще про правильні n-кутники

Доведемо, що будь-який правильний n-кутник є опуклим многокутником.

Для цього достатньо показати, що в будь-якому многокутнику є хоча б один кут, менший від 180°. Тоді з того, що в правильному n-кутнику всі кути рівні, випливатиме, що всі вони менші від 180°, тобто многокутник буде опуклим.

Розглянемо довільний многокутник і пряму a, яка не має з ним спільних точок:

З кожної вершини многокутника опустимо перпендикуляр на пряму a.

Порівнявши довжини цих перпендикулярів, ми зможемо обрати вершину многокутника, яка найменш віддалена від прямої a (якщо таких вершин кілька, то оберемо будь-яку з них). Нехай цю властивість має вершина А:

Через точку A проведемо пряму b, паралельну прямій a. Тоді кут A многокутника лежить в одній півплощині відносно прямої b. Отже, ÐA < 180°.

Ви вмієте за допомогою циркуля і лінійки будувати правильний 4-кутник, а отже, й 8-кутник, 16-кутник, 32-кутник, тобто будь-який 2n-кутник (n — натуральне, n > 1).

Уміння побудувати правильний трикутник дає змогу побудувати такий ланцюжок з правильних многокутників: 6-кутник, 12-кутник, 24-кутник і т. д., тобто будь-який 3 × 2n-кутник (n — натуральне).

Задача побудови правильних многокутників за допомогою циркуля і лінійки вивчалася ще давньогрецькими геометрами. Зокрема, крім зазначених вище многокутників, вони вміли будувати правильні 5-кутник і 15-кутник, що є досить непростою справою.

Зрозуміло, що стародавні вчені, які вміли будувати будь-який з правильних n-кутників, де n = 3, 4, 5, 6, 8, 10, намагалися розв’язати цю задачу і для n = 7, 9. Їм це не вдалося. Взагалі, більше двох тисяч років ніхто не міг досягти результату в розв’язанні цієї проблеми. Лише в 1796 р. великий німецький математик Карл Фрідріх Гаусс (1777 — 1855) зміг довести, що циркулем і лінійкою побудувати правильні 7-кутник і 9-кутник неможливо.

У 1801 р. Гаусс показав, що циркулем і лінійкою можуть бути побудовані лише ті правильні n-кутники з непарною кількістю сторін, для яких число n є простим числом виду  або добутком кількох таких різних чисел, які називають числами Ферма (Пьер Ферма (1601 – 1665) — французький математик, один з фундаторів теорії чисел). Зараз відомо лише п’ять простих чисел Ферма: 3, 5, 17, 257, 65537.

Гауссу вдалося побудувати правильний 17-кутник. Він надавав цьому відкриттю настільки великого значення, що заповідав увіковічити 17-кутник на його надгробку. На могильній плиті Гаусса цього рисунку немає, проте сам пам’ятник стоїть на сімнадцятикутному постаменті.

Відео інформацію за даними темами можна переглянути за адресою:

http://www.youtube.com/watch?v=GfDxHnrNDS4