Допустимий орієнтований граф для якогоіснує скінченна кількість матриць показників

УДК 512.552

О. В. Зеленський, кандидат фізіко-математичних наук, старший викладач

ДОПУСТИМИЙ ОРІЄНТОВАНИЙ ГРАФ ДЛЯ ЯКОГОІСНУЄ СКІНЧЕННА КІЛЬКІСТЬ МАТРИЦЬ ПОКАЗНИКІВ

У статті досліджуються кількість не еквівалентних матриць показників допустимих сагайдаків.

Ключові слова: матриця показників, допустимий сагайдак матриці показників.

Один із аспектів теорії кілець є вивчення властивостей кілець за допомогою теорії графів. Кожний черепичний порядок повністю визначається своєю матри-цею показників і дискретно нормованим кільцем. Багато властивостей таких кілець повністю визначаються їх матрицями показників, зокрема, сагайдаки таких кілець. Порівняно недавно матриці показників стали окремим об’єктом вивчення. В статті продовжуються дослідження матриць показників. Доводиться, що для довільного натурального числа m, існує допустимий сагай-дак, який одержується рівно з m попарно нееквівалентних матриць показників.

Означення1. Матриця E=(aij)ÎMn(Z)(Mn(Z) – це кільце матриць розмірності n з цілими елементами ), для якої виконуються наступні умови:

1) aij+ ajkaiк для всіхi,j, k=1, … ,n,

2) aii = 0для всіх i=1, … , n,називається матрицею показників. Матриця показників, для якої виконується умова

3) aij+ aji≥1длявсіхi, jÎ{1,… ,n} (ij)

називається зведеною матрицею показників.

Нехай E=(aij) – зведена матриця показників. Введемо матрицю E(1)=(bij)=E+ЕnÎMn(Z), де Еn– одинична матриця. Введемо матрицю E(2)=(gij)ÎMn(Z):gij= .

Означення 2. Сагайдаком зведеної матриці показників Q=Q(E) називається сагайдак, матриця суміжності якого задається формулою [Q]=E(2)-E(1).

Означення3. Зведеніматриці показників E1 і E2 називається еквівалентними, якщо одну можна отримати з іншої за допомогою елементарних перетворень двох типів:

1) Відняти ціле число t від елементів іго рядка та добавити це число до елементів іго стовпчика,

2) Поміняти місцями два рядки і поміняти місцями два стовпчика з такими ж номерами.

Означення 4. Сагайдак Q називається допустимим, якщо icнує зведена матриця показників E, така що Q(E) =Q.

Теорема 1. Множина Gє система твірних елементів матриці E(1 ) [3].

Означення 5. Сагайдак Q=(VQ, AQ) називається зваженим, якщо визначена функція . Функція ω називається ваговою, а її значення на стрілці називається вагою стрілки.

Сума ваг всіх стрілок шляху називається вагою шляху.

Теорема 2. Сильно зв’язний сагайдак Q=(VQ, AQ) є допустимим тоді і тільки тоді, коли існує вагова функція , яка задовольняє наступним умовам:

1) вага стрілки з точки i у точку j менша за вагу шляху з точки i у точку j довжиниl≥2,

2) вага петлі в точці i менше за вагу будь-якого циклу, що проходить через точку i, довжиниl≥2,

3) вага будь-якого циклу більше або дорівнює 1,

4) вага петлі дорівнює 1,

5) через кожну точку без петлі проходить цикл довжиниl≥2, вага якого дорівнює 1. [2]

Теорема 3 (Головна). Для довільного натурального m>1 існує допустимий сагайдак Qm, для якого існує рівне m попарно нееквівалентних матриць показників, сагайдак яких співпадає з сагайдаком Qm.

Доведення. Розглянемо сагайдак Qm,який має 2(m+1)+1 вершину та 3m+1 стрілку, а саме VQ={1, …, 2m+3},

AQm={s2k-1,2k,s2k,2k+1, s2k+1,2k-1 для всіх k=1, …, m+1, s1,2m+1}, де sij — стрілка з вершини i у вершину j.

Для сагайдака Qmпобудуємо m зведених попарно нееквівалентних між собою матриць показників. Відомо, що зведена матриця показників однозначно задається ваговою функцією j(sij)ÎNÈ{0}, sijÎAQ, яка задовільняє умови теореми2. Побудуємо m вагових функцій j1, …, jm наступним чином:

jp(sij)=

Функції jp задовільняють всі умови теореми:

1) jp(s2k-1,2k)+jp(s2k,2k+1)+jp(s2k+1, 2k-1)=1, тому вершини 2k-1, 2k, 2k+1 не мають петель.

2)jp(s12)+jp(s23)+jp(s34)+jp(s45)+…+jp(s2m-1, 2m)+j p(s2m, 2m+1)=

=m+1>jp(s1, 2m+1) (вага шляху більша, ніж вага стрілки).

3)j p(s2k-1,2k) +j p(s2k,2k+1) + j p(s2k+1, 2k-1)³1,

j p(s1, 2m+1) +j p(s 2m+1, 2m-1)+j p(s 2m-1, 2m-3)+…+j p(s31)=jp(s1, 2m+1)³1

(вага кожного циклу не менше 1).

Побудуємо зведені матриці показників Ep=ÎMn(Z). Нехай при i≠j

=

Тоді за теоремою Q(E1)=Q(E2)=…=Q(Em) =Qm . Сума всіх елементів матриці Ek менша, ніж cума всіх елементів матриці Ek+1. Тому m зведених матриць показників E1, E2, …, Em попарно нееквівалентні між собою.

Покажемо тепер, що інших нееквівалентних матриць показників із сагайдаком Qm не існує. Нехай Qm=Q(E) для деякої зведеної матриці показників, [Qm]=(qij). Доведемо, що E еквівалентна до однієї з матриць E1, ...,Em.

Застосувавши елементарне перетворення першого типу перейдемо від матриці E до еквівалентної E*з першим нульовим стовпчиком. В сагайдаку Qmіз третьої вершини можна потрапити в першу тільки через стрілку s31. Тому j*(s31)=0. Аналогічно із вершини 2 в вершину 1 існує єдиний шлях через s23,s31. Тому j*(s23)+j*(s31)=0 і тоді j*(s23)=0. Оскільки вершина 2 не має петлі, то j*(s12)+j*(s23)+j*(s31)=1. Тому j*(s12)=1.

Абсолютно аналогічно одержується j*(s2k-1,2k)=1,j*(s2k,2k+1)=j*(s2k+1,2k-1)=0, для k=2, …, m+1.

j*(s12)+j*(s23)+j*(s34)+j*(s45)+…+j*(s2m-1, 2m)+j*(s2m, 2m+1)=

=m+1>j*(s1, 2m+1).

j*(s1, 2m+1) +j*(s 2m+1, 2m-1)+j*(s 2m-1, 2m-3)+…+j*(s31)=j*(s1, 2m+1)³1.

Отже, 1£j*(s1, 2m+1)£m. Нехайt=j*(s1, 2m+1), тоді E»E*=Et.

Отже, зведених попарно нееквівалентних між собою матриць показників з сагайдаком Qm рівне m.

Приклад для m=2. Сагайдак Q2 складається з 7 вершин.

[Q]=.

Існує дві зведені матриці показників для яких Q2=Q(E1)=Q(E2):

E1=, E2=

Cума всіх елементів матриць E1, E2 дорівнює 31 і 36 відповідно. Тому матриці нееквівалентні.

Список використаних джерел :

1. Dokuchaev M. A. Gorenstein matrices / M. A. Dokuchaev, V. V. Kirichenko, A. V. Zelensky, V. N. Zhuravlev // Algebra and Discrete mathematics. – 2005. – №1. – P. 8-29.

2. Roggenkamp W. Gorenstein tiled orders / K. W. Roggenkamp, V. V. Kirichenko, M. A. Khibina, V. N. Zhuravlev // Communication in Algebra. – 2001. – Vol. 29(9). – P. .

3. Gubareni N. M. Rings and Modules / N. M. Gubareni, V. V. Kirichenko. – Czestochowa, 2001. – 306 p.

The survey of Gorenstein matrix.

Кey words: exponent matrix, admissible quiver.