Теореми існування екстремального елемента для узагальненої задачі про відносний Чебишовський центр компакта лінійного нормованого простору

УДК 517.5

, кандидат фізико-математичних наук, доцент,

, кандидат фізико-математичних наук, доцент,

, кандидат фізико-математичних наук, доцент

ТЕОРЕМИ ІСНУВАННЯ ЕКСТРЕМАЛЬНОГО ЕЛЕМЕНТА ДЛЯ УЗАГАЛЬНЕНОЇ ЗАДАЧІ ПРО ВІДНОСНИЙ ЧЕБИШОВСЬКИЙ ЦЕНТР КОМПАКТА ЛІНІЙНОГО НОРМОВАНОГО ПРОСТОРУ

У статті встановлено деякі теореми існування екстремального елемента для узагальненої задачі про відносний чебишовський центр компакта лінійного нормованого простору.

Ключові слова: компакт, чебишовський центр, теореми існування.

Постановка задачі. Нехай –лінійний над полем дійсних (комплексних) чисел нормований простір, -множина непорожніх компактів цього простору, , , - задана на опукла неперервна функція.

Поставимо задачу відшукання величини

. (1)

Якщо , , то задача відшукання величини (1) стає задачею про чебишовський центр компактна відносно множини .

Якщо існує елемент такий, що

,

то його будемо називати екстремальним елементом для величини (1).

У статті для задачі відшукання величини (1) встановлено деякі теореми існування екстремального елемента, які узагальнюють на випадок цієї задачі відповідні теореми існування екстремального елемента для задачі найкращого у розумінні опуклої неперервної функції наближення елемента лінійного нормованого простору опуклою множиною цього простору, встановлені у праці [1], розглянуто допоміжні твердження, які представляють і самостійний інтерес.

Твердження1. Для кожного функція є неперервною на .

Оскільки має місце твердження 1 і - компакт простору , то відповідно до узагальненої теореми Вейєрштрасса (див., наприклад, [2, с.28]) ця функція досягає на свого найбільшого значення.

З огляду на вищесказане задачу відшукання величини (1) подамо у такому вигляді

, (2)

екстремальним елементом для величини (2) назвемо такий елемент , для якого (за умови, звичайно, що такий елемент існує).

Теорема 1. Функція , , є опуклою та неперервною на .

Твердження 2. Нехай - опукла замкнена локально компактна множина простору , в тому числі і скінченновимірний підпростір,

. (3)

Якщо , , і числова послідовність обмежена зверху, то послідовність є обмеженою послідовністю.

В подальшому будемо використовувати наступні позначення та поняття.

Нехай - простір, спряжений з , - дійснозначна функція, задана на .

Полярою фукнції , або функцією, спряженою з , називається функція на , означена рівністю

,

(див., наприклад, [3 , с. 319]).

Множина називається ефективною множиною функції (див., наприклад, [3, с. 306]).

Функція , , називається асимптотичною функцією для (див., наприклад, [3, с. 346 і 347]).

Якщо - замкнена опукла множина в , то асимптотичним конусом множини називається множина таких точок , що для довільної точки і довільного (див., наприклад, [3 , с. 345]).

Нехай

Твердження 3. Якщо , то для всіх .

Теорема 2. Якщо - опукла замкнена локально компактна множина простору , в тому числі і скінченновимірний підпростір, ,, то є множиною існування екстремального елемента для величини (2).

Доведення. Нехай є мінімізуючою послідовностю для величини (2), тобто

, , (4)

Оскільки , то . Зі співвідношення (4) випливає, що послідовність є обмеженою. Згідно з твердженням 2 обмеженою буде також послідовність . Оскільки є локально компактною множиною, то існує збіжна підпослідовність послідовності . Нехай Внаслідок замкненості Оскільки і функція , є неперервною на (див. теорему 1), то

Це й означає, що є екстремальним елементом для величини (2).

Теорему доведено.

Теорема 3. Нехай — опукла замкнена локально компакна множина, в тому числі і скінченновимірний підпростір, , для всіх то є множиною існування екстремального елемента для величини (2).

Доведення. Переконаємось, що за умов теореми має місце співвідношення (3). Припустимо супротивне. Тоді існує і послідовність , такі, що .

Згідно з лемою 2 [1] існує ненульовий елемент , для якого , що суперечить умові теореми.

Отже, рівність (3) має місце. Згідно з теоремою 2 є множиною існування.

Теорему доведено.

Наслідок 1. Якщо — опукла замкнена локально компактна множина, що містить 0, в тому числі скінченновимірний підпростір, і для всіх то є множиною існування екстремального елемента для величини (2).

Доведення. Нехай , . Тоді для всіх в тому числі і для . Отже, Згідно з умовою теореми Згідно з теоремою 3 є множиною існування екстремального елемента для величини (2).

Наслідок доведено.

Теорема 4. Нехай — скінченновимірний підпростір простору , — підпростір, . Тоді є множиною існування екстремального елемента для величини (2).

Доведення. Нехай — підпростір , що доповнює до . Тоді кожна точка подається у вигляді , де , .

Тому, враховуючи теорему Фенхеля-Моро (див., наприклад, [4, с. 186]), властивості точної верхньої межі і зазначене вище, для та ,, , можна записати наступні співвідношення

Звідси випливає, що

(5)

Оскільки , то з (5) маємо

(6)

Звідси випливає, що для завершення доведення теореми достатньо переконатися, що існує екстремальний елемент для величини

(7)

Нехай і . Оскільки підпростір доповнює підпростір до , то .

Звідси випливає, що .

Згідно з теоремою 3 є множиною існування екстремального елемента для величини (7). Оскільки має місце рівність (6), то кожний екстремальний елемент для величини (7) буде також екстремальним елементом для величини (2).

Теорему доведено.

Теорема 5. Якщо — слабко компактна множина простору , ,то для будь-якого екстремальний елемент для величини (2) існує.

Доведення. Нехай є слабко компактною множиною простору , і — мінімізуюча послідовність для величини (2), тобто

. (8)

Оскільки , то (див. твердження 3).

Внаслідок того, що є слабко компактною множиною простору і то існує підпослідовність послідовності яка слабко збігається до . Переконаємося, що

. (9)

Припустимо, що . Тоді існує таке, що

. (10)

Розглянемо множину

.

Згідно з (10) . З неперервності та опуклості функції , та властивостей точної нижньої межі випливає, що множина є непорожньою замкненою опуклою множиною. Згідно з теоремою про розділяючу гіперплощину (див., наприклад, [5, с. 31]) існує ненульовий функціонал та число такі, що

, . (11)

Маємо (див. (8)).

Звідси випливає, що існує номер такий, що для всіх .

Згідно з (11) тоді

, . (12)

Оскільки , то .

Перейшовши в (12) до границі при одержимо, що .

Одержана суперечність доводить, що наше припущення про те, що , невірне. Отже, має місце рівність (9). Це означає, що є екстремальним елементом для величини (2).

Теорему доведено.

Список використаних джерел:

1. Гнатюк свойства наилучшего приближения по выпуклой непрерывной функции / , // Укр. мат. журн. — 1982. — 4, №5. — С. 608—613.

2. Канторович аналіз / , . — М. : Наука, 1977. — 742 с.

3. -Ж. Аппроксимация и оптимизация/ П.-Ж. Лоран. — М. : Мир, 1975. — 496 с.

4. Иоффе экстремальных задач / , В. М. Тихомиров. — М. : Наука, 1974. — 480 с.

5. Гольштейн двойственности в математическом программировании и ее приложения / . — М. : Наука, 1971. — 352 с.

We prove some existence theorems of extreme elements for the generalized problem are set about the relative Chebyshew center of the сompaсt of the linear normed space.

Key words: сompaсt, Chebyshew center, theorem existence