Основи спеціальної теорії відносності

Основи спеціальної теорії відносності

10.1. Постулати Айнштайна та перетворення Лоренца

Крім того з рівнянь електродинаміки випливала незалежність швидкості світла в вакуумі від вибору системи відліку.

Виходячи з аналізу доступних на той час даних А. Айнштайн висунув два твердження (постулати):

принцип відносності

принцип незалежності швидкості світла від ІСВ

Перший з цих постулатів можна розглядати як узагальнення принципу відносності на всі (не лише механічні) явища.

Другий постулат еквівалентний твердженню про скінченну швидкість поширення світла і означає відмову від ньютонівського принципу далекодії.

Поставимо задачу знайти зв’язок між просторовими координатами та часом якої-небудь події в двох різних ICB виходячи з постулатів Айнштайна.

Модель нашої події така: в деякій інерціальній системі відліку (для простоти в її початку) в момент часу відбувається спалах світла. В результаті від точки розповсюджується сферична хвиля (Рис. 10._), фронт якої в декартовій системі координат з початком в точці описується рівнянням

, (10.1)

де – швидкість світла в системі відліку . Нехай в момент часу початок системи відліку співпадав з початком інерціальної системи відліку (Рис. 10._). Відповідно до першого постулату Айнштайна в інерціальній системі відліку фронт хвилі породженої спалахом світла також має сферичну форму, отже, рівняння фронту має такий самий вигляд як і рівняння (10.1)

, (10.2)

де всі величини відносяться до системи відліку .

Відповідно до другого постулату Айнштайна покладемо в рівнянні (10.2) . Тоді маємо

. (10.2′)

Рівняння (10.1) та (10.2′) можна подати у вигляді

та

або

(10.1′)

та

, (10.2′′)

де позначено та .

На підставі рівнянь (10.1′) та (10.2′′) можна записати

. (10.3)

Таким чином, перетворення координат , яке відповідає постулатам Айнштайна і подано формулою (10.3) можна розглядати як ортогональне перетворення, що не змінює довжину відрізка в деякому 4-вимірному просторі[1]. Це перетворення визначається деякою матрицею перетворення , яка лінійно зв’язує між собою координати та

. (10.4)

Оберемо орієнтацію декартових систем координат та ув системах відлікута , відповідно, так, щоб осі та були паралельні вектору швидкості системи відлікувідносно системи , а осі та були паралельні, відповідно, осям та . При такому виборі і матриця набуває вигляду

. (10.5)

Елементи матриці (10.5) як матриці ортогональних перетворень повинні задовольняти відомі співідношення

(10.6)

та

. (10.7)

З низки рівностей (10.6) та (10.7) можна знайти важливі співвідношення між елементами матриці (10.5).

Наприклад,

, (10.8)

звідки .

Для подальшого розгляду оберемо в останній рівності знак (доцільність такого вибору буде обгрунтовано в далі), тобто покладемо

, (10.9)

і тоді

. (10.10)

Введемо позначення

(10.11)

та

. (10.12)

Тоді матриця (10.5) набуває вигляду

. (10.5′)

Будь-яку подію, що відбулася в момент часу в точці простору з координатами можна задати в просторі Мінковського координатами . Зв’язок між координатами цієї події в системах відлікуі системах має вигляд

, . (10.13)

або

, . (10.14)

Отже зв’язок між просторовими координатами і часом в системах відлікуі дається формулами

, (10.15)

. (10.16)

Залишається визначити величини та . Знову скористаємося властивостями елементів матриці ортогонального перетворення, наприклад, рівністю . Тоді , звідки знаходимо

. (10.17)

З аналізу розмірностей рівностей (10.15) та (10.16) випливає, що добуток має розмірність швидкості. Позначимо його , де – деяка швидкість. Тоді і рівності (10.15) та (10.16) набирають вигляду

, (10.18)

. (10.19)

Який зміст має швидкість у цих рівностях? Для того, щоб дати відповідь на це питання розглянемо випадок, коли швидкість . Тоді маємо , , тобто ми отримали перетворення Галілея. Але в перетвореннях Галілея швидкість – це швидкість руху інерціальної системи відлікувідносно інерціальної системи відліку. Логічною є вимога, щоб отримані нами нові формули перетворень координат та часу при малих швидкостях неперервним чином переходили в перетворення Галілея, тобто, і в перетвореннях (10.18) та (10.19) швидкість – це швидкість руху системи відлікувідносно системи .

Перетворення Лоренца	Перетворення Галілея
, (10.20′ а)	(10.21′ а)
. (10.20′ б)	(10.21′ б)

Остаточно запишемо одержані нами на основі постулатів Айнштайна перетворення координат та часу деякої події при переході від ІСВ до ІСВ , які були вперше одержані Х. Лоренцем у 1904 р. і які є математичним виразом принципу відносності електродинаміки[2] та перетворення Галілея, які виражають принцип відносності механіки Ньютона.

Перетворення Лоренца	Перетворення Галілея
, (10.20а)	(10.21а)
. (10.20б)	(10.21б)

Зворотні перетворення координат та часу деякої події при переході від ІСВ до ІСВ мають вигляд

Формули зворотних перетворень подібні до формул прямих перетворень (10.20), але в них знак “–“ перед швидкістю змінено на знак “+”, оскільки напрямок відносної швидкості системи щодо системи є протилежним напрямку відносної швидкості системи щодо системи .

Порівняння перетворень Лоренца і перетворень Галілея приводить до висновку, що в CTB час та просторові координати не є незалежними параметрами.

Якщо раніше (наприклад, при розгляді інваріантності законів Ньютона щодо перетворень Галілея або при розгляді руху частинки відносно HeICO) ми могли вважати, що як так і , то в CTB можна записати лише , де –так званий інтервал – відрізок у 4–вимірному просторі Мінковського

або . (10.21)

Корисно записати явний вигляд матриці перетворень Лоренца

(10.22)

Перетворення Лоренца характеризується одним параметром і описує перетворення координат якоїсь події у 4–вимірному просторі Мінковського при переході від однієї інерціальної CB до іншої.

Матриця перетворень Галілея має вигляд

. (10.23)

Принагідно зауважимо, що матриця перетворень Галілея не має ніякої внутрішньої симетрії, а матриця перетворень Лоренца є ермітовою, елементи якої мають властивість .

Повернемось до того моменту, коли було взято знак “+” при встановленні співвідношення між елементами матриці та шляхом добування квадратного кореня. Якби було обрано знак “–“, то неперервний перехід від перетворень Лоренца до перетворень Галілея шляхом спрямування відношення до нуля був би неможливий [3].

Наслідки перетворень Лоренца

Відмінність перетворень Лоренца від перетворень Галілея тягне за собою низку наслідків щодо кінематики руху зі швидкостями, які не можна вважати малими порівняно зі швидкістю світла, причому деякі з них настільки радикально відрізняються від наших уявлень про механічний рух, які склалися на підставі нашого досвіду спостережень рухів з малими швидкостями (), що можуть здаватися такими, що суперечать так званому «здоровому глузду». Перед тим, як перейти до обговорення наслідків перетворень Лоренца, варто спеціально наголосити, що останні, як ми бачили, прямо випливають з трьох постулатів, котрі самі по собі не можна віднести до таких, що виходять за межі наших уявлень про рух. Принаймні, зміст цих постулатів не суперечить «здоровому глузду».

Дійсно, перший із них – це постулат про існування інерціальних систем відліку як таких, до якого можна прийти цілком логічними міркуваннями на основі узагальнення спостережень механічного руху зі швидкостями набагато меншими за швидкість світла (див. підрозділ 3.1).

Другий постулат (відомий як перший постулат Айнштайна), як ми вже відзначали, є розпосюдженням принципу відносності на всі (а не лише на механічні) явища[4].

Третій постулат, на який спирається СТВ (другий постулат Айнштайна), також не сприймається як щось надзвичайне: якщо всі явища протікають однаково в усіх ІСВ, то можна припустити, що в усіх ІСВ швидкість світла є однакова. Відповідний постулат механіки Ньютона – принцип далекодії, наслідком якого є третій закон динаміки Ньютона, є значно більш незбагненним, оскільки відповідно до нього взаємодія передається миттєво на яку завгодно, навіть нескінченну відстань (іншими словами швидкість поширення взаємодії є нескінченною).

[1] 4-вимірний простір, в якому точка задається трьома просторовими дійсними координатами та однією уявною часовою координатою називається простором Мінковського.

[2] Ці перетворення були вперше одержані Х. Лоренцем в 1904 р. у зв’язку з теоретичними та експериментальними дослідженнями поширення світла. Ці перетворення залишають незмінними рівняння електродинаміки Максвелла при переході від однієї ІСВ до іншої. Айнштайн спирався на ці перетворення при створенні СТВ

[3] Зауважимо, що вибір знаку “–“ відповідає так званій інверсії часу: при такому перетворенні напрям зміни часу змінюється на протилежний (). Оскільки вектор швидкості за визначенням є , а при інверсії часу знак знаменника змінюється на протилежний, то це зумовлює зміну напрямків руху всіх частинок на протилежні.

[4] Варто згадати, що на кінець 19 сторіччя всі відомі фізичні явища зводились до явищ механічних та електричних і магнітних, тобто до електромагнітних, як то показав Максвел, причому до останніх, як було з’ясовано, належали і всі оптичні явища.