Властивості базисів.

Всі базиси простору Rn складаються з n векторів.

Доведення. В просторі Rn існує стандартний базис e1,e2,…,en . Припустимо, a1, a2,… am - інший базис. Оскільки при m>n система з m векторів лінійно залежна, то m≤n.. Якщо m>n, то за означенням базису всі вектори простору, а тому і вектори системи e1,e2,…,en лінійно виражаються через базис a1, a2,… am .Тоді, за лемою про дві системи, вектори e1,e2,…,en лінійно залежні. Протиріччя. Отже,

В просторі Rn будь-яка лінійно незалежна система з n векторів утворює базис простору.

Доведення. Нехай a1, a2,… an - лінійно незалежна система векторів в просторі Rn . Покажемо, що будь-який вектор b є Rn лінійно виражається через a1, a2,… an. Як показано вище, система векторів a1, a2,… an,b лінійно залежна. Отже, існує нетривіальна лінійна комбінація

α1a1+α2a2+…αnan+βb=q.

Якщо β=0, то одержуємо нетривіальну лінійну комбінацію системи a1, a2,… an, що суперечить її лінійній незалежності. Отже, , а тому:

;

Тобто вектор b лінійно виражається через систему a1, a2,… an. Оскільки, за умовою, ця система лінійно незалежна, то вона утворює базис простору Rn.

В просторі Rn будь-яку лінійно незалежну систему векторів можна доповнити до базису простору.

Доведення. Нехай a1, a2,… am - лінійно незалежна система векторів в просторі . Якщо m=n,то за попередньою властивістю дана система утворює базис простору. Припустимо m<n. Тоді для системи a1, a2,… am умови базису не виконуються, а тому існує вектор am+1 є Rn , який не виражається через a1, a2,… am . Покажемо, що система a1, a2,… am,am+1 лінійно незалежна. Беремо лінійну комбінацію

λ1a1+λ2a2+…+λmam +αm+1am+1=q.

Якщо , то , тобто вектор am+1 лінійно виражається через a1, a2,… am , що суперечить припущенню. Отже, am+1=q. Звідси

λ1a1+λ2a2+…+λmam =q. Ми одержали лінійну комбінацію лінійно незалежної системи векторів, звідси α1= α2=…=αm=0 Тобто, система a1, a2,… am, am+1 лінійно незалежна. Якщо m+1=n, то вона утворює базис простору, інакше існує вектор am+2 є Rn, який не виражається через a1, a2,… amСистема векторів a1, a2,… am,am+1,am+2 лінійно незалежна. Оскільки в просторі Rn не існує лінійно незалежних систем з будь-яким числом векторів, то за скінчене число кроків ми проходимо до базису простору.