Похідна функції

Похідна функції.

1. Похідна, її фізичний та геометричний зміст.

2. Формули диференціювання.

Поняття похідної – фундаментальне поняття математичного аналізу, за допомогою якого досліджують процеси і явища в природничих, соціальних і економічних науках. Вивчення різних процесів (механічного руху, хімічних реакцій, розширення рідини при нагрівання, значення електричного струму та ін.) проводять до необхідності обчислення швидкості зміни різних величин, тобто до поняття похідної.

Нехай задано функцію на деякому проміжку. Візьмемо довільну внутрішню точку даного проміжку, надамо значенню довільного приросту (число може бути як додатним, так і від’ємним), але такого, щоб точка належала даному проміжку, тоді

1) Обчислимо в точці приріст функції:

;

2) Складемо відношення: .

3) Знайдемо границю цього відношення при умові, що , тобто:

.

Якщо дана границя існує, то її називають похідною функції в точці і позначають або (читається еф штрих від або штрих).

Похідною функції в точці називається границя відношення приросту функції до приросту аргументу при умові, що приріст аргументу прямує до нуля, а границя існує, тобто

.

Приклад 1. Знайдіть похідну функції в точці .

Розв’язання

Знайдемо приріст функції:

Знайдемо відношення приросту функції до приросту аргументу:

.

Знайдемо похідну даної функції в точці :

.

Якщо матеріальна точка рухається прямолінійно і її координата змінюється по закону , то швидкість її руху в момент часу дорівнює похідній :

Значення похідної функції в точці дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної до графіка функції в точці з абсцисою :

Розглянемо функцію .

У точці проведено дотичну до кривої . Складемо рівняння дотичної АМ, знаючи координати точки дотику і рівняння кривої. Дотична – це пряма. Рівняння будь-якої прямої має вигляд: . Оскільки , тому рівняння дотичної має такий вигляд:

(1)

Знайдемо , виходячи з того, що дотична проходить через точку і тому її координати задовольняють рівнянню дотичної:

, звідси .

Тепер підставимо значення в рівняння (1) дотичної і одержимо:

Отже, рівняння дотичної до кривої в точці має вигляд:

. (2)

Приклад 1. Складіть рівняння дотичної до графіка функції в точці .

Розв’язання

1. - рівняння шуканої дотичної.

2. .

3.

Підставляємо значення у рівняння дотичної:

, або або

Формули диференціювання:

1. Якщо функція і диференційовані в точці , то їхня сума диференційована в цій точці і

.

або коротко говорять: похідна суми дорівнює сумі похідних.

Наслідки

а) Похідна різниці дорівнює різниці похідних.

б) Похідна суми декількох функцій дорівнює сумі похідних цих функцій, тобто .

Приклад. Знайдіть похідні функцій

а)

б)

в)

Розв’язання

а)

б)

в)

2. Якщо функції і диференційовані в точці х, то їхній добуток також – диференційована функція в цій точці і , або коротко говорять: похідна добутку двох функцій дорівнює сумі добутків кожної функції на похідну другої функції.

Наслідки

а) Постійний множник винести за знак похідної:

.

б) Похідна добутку декількох множників дорівнює сумі добутків похідної кожного із них на всі останні, наприклад:

.

Приклад. Знайдіть похідні функцій:

а)

б)

в)

Розв’язання

а)

б)

в)

3. Якщо функція і диференційовані в точці х і , то функція диференційована в цій точці і

Приклад. Знайдіть похідну функцій

а) б)

Розв’язання

а)

б)

4. У складеній функції присутня проміжна змінна . Тому при знаходженні похідної складеної функції ми будемо вказувати, по якій змінній взято похідну, використовуючи при цьому спеціальні позначення:

- похідна функції у по аргументу х;

- похідна функції у по аргументу и;

- похідна функції и по аргументу х.

Похідна складеної функції знаходиться за формулою

, де ,

Або похідна складеної функції дорівнює похідній зовнішній функції по проміжній змінній, помноженій на похідну внутрішньої функції по основному аргументу.

Приклад. Знайдіть похідну функції .

Розв’язання

- складена функція , де , тоді , .

При обчисленні похідної складеної функції явне введення допоміжної букви и для позначення проміжного аргументу не є обов’язковим. Тому похідну даної функції знаходять відразу як добуток похідної степеневої функції на похідну від функції ;

Завдання для самостійної роботи:

1. Знайдіть похідні функцій:

а) б) в);

г) д) ; е); є)