Побудова частинного розв’язку неоднорідної системи методом варіації довільних сталих

4.4.2. Побудова частинного розв’язку неоднорідної системи методом варіації довільних сталих

Як випливає з останньої теореми, для побудови загального розв’язку неоднорідної системи потрібно розв’язати однорідну і яким-небудь засобом знайти частинний розв’язок неоднорідної системи. Розглянемо метод, який називається методом варіації довільної сталої.

Нехай маємо систему

і - загальний розв’язок однорідної системи. Розв’язок неоднорідної будемо шукати в такому ж вигляді, але вважати не сталими, а невідомими функціями, тобто і ,чи в матричній формі

,

де -фундаментальна матриця розв’язків, - вектор з невідомих функцій. Підставивши в систему, одержимо

,

чи

.

Оскільки - фундаментальна матриця, тобто матриця складена з розв’язків, то

.

і залишається система рівнянь .

Розписавши покоординатно, одержимо

Оскільки визначником системи є визначник Вронського і він не дорівнює нулю, то система має єдиний розв’язок і функції визначаються в такий спосіб

Звідси частинний розв’язок неоднорідної системи має вигляд

.

Для лінійної неоднорідної системи на площині

метод варіації довільної сталої реалізується таким чином.

Нехай

.

Фундаментальна матриця розв’язків однорідної системи. Тоді частинний розв’язок неоднорідної шукається у вигляді

Звідси

І загальний розв’язок має вигляд

, ,

де - довільні сталі.