Лінійні операції у функціональних просторах

§ 3. Лінійні операції у функціональних просторах

Будемо розглядати дійсні числові функції , визначені на відрізку . Кожну таку функцію можна трактувати як вектор , який має нескінченну кількість компонент , що відповідають різним значенням із відрізка . Виходячи з цього, в § 3 розповсюджуються поняття, викладені в § 2 для скінченновимірних векторів . Основні закономірності для скінченновимірних векторів зберігають свій сенс для нескінченновимірних векторів .

Розглянемо множину N функцій , заданих на проміжку . Множина N є лінійним функціональним простором, якщо , і дійсних чисел і функція міститься в N. Далі лінійний функціональний простір будемо позначати або .

Прикладами лінійних просторів є наступні множини функцій:

1) множина всіх можливих дійсних функцій , ;

2) множина функцій вигляду , де -- будь-які функції, наприклад, -- дійсні числа;

3) множина неперервних на відрізку функцій;

4) множина неперервних функцій, які мають в неперервну похідну .

Вибір простору визначається умовами задачі, в якій використовуються елементи цього простору.

Крім функцій , які приймають скалярні значення, розглянемо вектор-функції , які приймають векторні значення =. Функції, для яких визначені дії додавання та множення на число, утворюють лінійний простір, якщо: і із N і визначений вектор N.

3.1 Стандартні норми у функціональних просторах.

Визначимо для елементів лінійного простору N{; } норму , яка є додатним числом і задовольняє умови:

1) =0, якщо 0 або неістотно відмінна від тотожного нуля;

2) >0, якщо істотно відмінна від тотожного нуля;

3) ;

4) .

Простір N з введеною нормою для його елементів , , за умовами 1)—4) називається нормованим.

В умовах 1) і 2) мова йде про функції , зміна значень яких у довільній точці (або в декількох точках) може не впливати на результат операцій, що проводяться над функціями. Норма вводиться, як правило, з метою обслуговування деякого кола задач, і тому важливо, щоб вона була додатною величиною для всіх тих функцій , відмінність яких від тотожного нуля певним чином впливає на результат операцій; в протилежному випадку функцію потрібно вважати відмінною від нуля неістотно, а її норму вважати рівною нулеві. З цієї причини функції , які лише в окремих точках відмінні від нуля, можуть вести себе так само, як і функції, тотожно рівні нулеві, тобто ці функції неістотно відмінні від нуля для даного кола задач.

Для обчислення конкретних норм скінченновимірних векторів у § 2 використовувались операції додавання модулів компонент векторів та обчислення максимуму. Для нескінченновимірних просторів додавання за індексом i природно замінюється інтегруванням за змінною . Наведемо деякі приклади визначення норм , для яких ці операції визначені. Далі будемо вважати скалярною функцією.

Розглянемо деякі визначення норм у просторах, які будемо використовувати у подальшому.

1. Розглянемо множину всіх функцій , , інтеграл від квадрата яких існує і є скінченним. Ці функції утворюють простір з нормою

(3.1)

-- це узагальнення евклідової норми n-мірного вектора . Інтеграл розуміється у сенсі інтеграла Лебега. Використання інтеграла Лебега викликане необхідністю інтегрування розривних функцій. Інтеграли Лебега і Рімана часто співпадають, і для всіх розглядуваних далі задач інтеграл Лебега можна розуміти як інтеграл Рімана. Для виконання умов 1) і 2) функції потрібно вважати істотно відмінними від нуля тоді і тільки тоді, коли 0 на множині ненульової міри. Для доведення умови 3) потрібно скористатися інтегральною нерівністю Мінковського [2]:

при p=2. Виконання умови 4) очевидне.

2. Простір – це простір функцій , для яких існує і обмежений інтеграл у сенсі Лебега від їх модуля. Це простір з нормою

. (3.2)

3. Простір неперервних функцій , заданих на проміжку , з нормою

при . (3.3)

4. Простір М істотно обмежених та інтегрованих на функцій з нормою

, (3.4)

де G – така множина точок нульової міри, що при всіх зовні цієї множини функція обмежена, тобто для всіх , крім , виконана нерівність -- достатньо велике число. Норму називають істинним максимумом і позначають так

. (3.5)

5. Дійсний гільбертів простір з введеним в ньому скалярним добутком – дійсне число, для якого виконуються наступні умови:

1) ;

2) =;

3) ,

і нормою

, (3.6)

де – дійсні числові функції простору .

Для скалярного добутку функцій має місце нерівність Коші-Буняковського:

.

Зауважимо, що скалярний добуток можна вводити по-різному. Найпростішим випадком скалярного добутку функцій є інтеграл

.

Гільбертів простір з таким скалярним добутком є . В просторі норма буде мати вигляд

. (3.7)

Розглянемо більш складний приклад гільбертового простору. Нехай є даний простір . Для кожної пари функцій із визначимо скалярний добуток у наступному вигляді

,

де – неперервна і симетрична по і функція, яка є, крім того, невід'ємним ядром. Вважаємо, що має наступні властивості:

1) ;

2) .

Побудований таким чином скалярний добуток очевидно задовольняє кожному з властивостей 1)-3) скалярного добутку. Норма елементів , яка визначається згідно зі співвідношенням (3.6), матиме наступний вигляд

.

3.2 Норми в просторах вектор-функцій.

Розглянемо простори, елементи яких є вектор-функції, а саме функції, значеннями яких є вектори .

Узагальнимо норми, введені в 3.1 (пункти 1—4) для просторів , L, C, M, які будемо називати стандартними. Для простору N r-мірних вектор-функцій норми мають відповідно вигляд:

1) для простору :

; (3.8)

2) для простору L:

, (3.9)

або

; (3.10)

3) для простору C:

; (3.11)

4) для простору M:

. (3.12)

Простори, для яких введені норми в 3.1 і 3.2, мають властивість повноти. Для цього потрібно, щоб послідовність була збіжною за нормою та фундаментальною.

Означення 3.1. Послідовність збігається до функції із N за нормою , якщо виконується рівність

.

Означення 3.2. Послідовність називається фундаментальною, якщо виконується рівність

.

Означення 3.3. Нормовані функціональні простори, для яких будь-яка фундаментальна послідовність має границю із того ж самого простору, називаються повними.

Повні нормовані простори функцій , заданих на відрізку , називають банаховими просторами і позначають .

3.3 Норма лінійної операції в просторах функцій.

Розглянемо операцію , у функціональному лінійному нормованому просторі .

Означення 3.4. Операція називається лінійною (або лінійним функціоналом в В), якщо виконуються такі умови:

1) ;

2) .

Норма , як і в скінченновимірному просторі, визначається як найменше з чисел , для якого виконується нерівність

. (3.13)

Проте, може статися, що жодного числа , яке забезпечує нерівність (4.13), не існує. Річ в тому, що величина може не досягати скінченного максимуму на сфері . Це можна показати на прикладі.

Розглянемо простір з нормою та . Побудуємо послідовність , і=1,2,…:

При цьому . Тобто всі функції містяться в одиничній сфері та . Це означає, що , тобто операція не має на одиничній сфері скінченного максимуму. Значення цієї операції на сфері необмежені, і не існує жодного , яке задовольняє нерівність (3.13).

Ця обставина логічна, оскільки операція співставляє кожній функції із її значення в одній точці , а значення функції в одній окремій точці є несуттєвим, якщо функцію розглядати як елемент простору . Ця ж обставина вимагає додаткового обмеження на властивості операції . А саме, ввести поняття обмеженості операції , якщо її значення на одиничній сфері обмежені, тобто – таке число, що

при .

В скінченновимірному просторі будь-яка лінійна операція є обмеженою, і для простору також будемо розглядати лінійні обмежені операції.

З іншого боку, навіть якщо операція обмежена, визначити норму не завжди можливо, оскільки може не існувати елемента із сфери , на якому досягається найбільше значення . Тому норму обмеженої лінійної операції вводять у функціональних просторах рівністю

при ),

де sup означає, що є верхня межа множини чисел , яку отримаємо, коли пробігає одиничну сферу.

Як і в скінченновимірному просторі, норму часто зручно обчислювати з рівності

,

де – віддаль від точки до , тобто

при .

Доведення цього факту наведене у книзі [4].