Методика перерахування координат точок, що визначаються в межах Київської області

ЗАТВЕРДЖЕНО Розпорядження голови Київської обласної державної адміністрації від № №

МЕТОДИКА

перерахування координат точок, що

визначаються в межах Київської області

1. Загальні положення

1.1. Методика перерахування координат точок, що визначаються в межах Київської області (далі – Методика) розроблена авторським колективом під керівництвом доцента кафедри геодезії та картографії географічного факультету Київського національного Університету імені Тараса Шевченка, розроблена відповідно до Закону України від 23.12.1998 „Про топографо-геодезичну і картографічну діяльність”, указу Президента України від 01.08.2001 № 000/2001 „Про поліпшення картографічного забезпечення державних та інших потреб в Україні”, постанов Кабінету Міністрів України від 22.09.2004 № 000 „Деякі питання застосування геодезичної системи координат”, від 08.06.1998 № 000 „Про затвердження основних положень створення Державної геодезичної мережі України” (із наступними змінами), від 16.01.2003 № 37 „Про затвердження Державної науково-технічної програми розвитку топографо-геодезичної діяльності та національного картографування на роки”.

1.2. Ця Методика визначає порядок перерахування координат СК – 63 в СК – UTM в межах Київської області, з метою сприяння створенню національної геодезичної системи відліку, пов'язаної з європейськими та світовими системами координат.

1.3. У цій Методиці наведені терміни вживаються у такому значенні:

велика піввісь еліпсоїда – параметр, що характеризує розмір еліпсоїда;

список еліпсоїда – параметр, що характеризує фігуру еліпсоїда;

елементи трансформування системи координат – параметри, за допомогою яких виконується перерахування координат з однієї системи в іншу.

1.4. У цій Методиці використовуються такі скорочення:

ПЗ – система геодезичних параметрів „Параметри Землі”;

СГС – система геодезичних параметрів „Світова геодезична система”;

КНС – космічна навігаційна система;

ГЛОНАСС – глобальна навігаційна супутникова система;

ГСП – глобальна система позиціювання;

ДГМ – державна геодезична мережа;

ЗЗЕ – загальземний еліпсоїд;

ГПЗ – гравітаційне поле Землі;

– осі просторової прямокутної системи координат;

– велика піввісь загальземного еліпсоїда в системі ПЗ;

– велика піввісь загальземного еліпсоїда в системі СГС (WGS – 84);

– велика піввісь еліпсоїда Красовського;

– стиск загальземного еліпсоїда в системі ПЗ;

– стиск загальземного еліпсоїда в системі СГС (WGS – 84);

– стиск еліпсоїда Красовського.

2. Системи координат

2.1. Координатна основа України.

2.1.1. Координатна основа України представлена референцною системою координат, реалізованою у вигляді ДГМ, що закріплює систему координат на території країни, і державної нівелірної мережі.

2.1.2. Прийнята на території України референцна система, базується на референц-еліпсоїді Красовського (Пулково – 42). Математичною основою референцної системи є еліпсоїд Красовського з основними параметрами a = ,0000 м – велика піввісь та стиск α = 1 : 298,3. Центр еліпсоїда Красовського збігається з початком референцної системи координат, вісь обертання еліпсоїда рівнобіжна (паралельна) осі обертання Землі, а площина нульового меридіана визначає положення початку відліку довгот. Всі інші параметри еліпсоїда є похідними.

2.1.3. Державна нівелірна мережа поширює на всю територію країни систему нормальних висот (Балтійська система), вихідним початком якої є нуль Кронштадтського футштока.

2.1.4. Положення точок, що визначаються щодо координатної основи може бути отримане у вигляді просторових прямокутних чи геодезичних координат або у вигляді плоских прямокутних координат і висот.

2.1.5. Математичною основою великомасштабних карт є проекція Гаусса-Крюгера. В рамках цієї основи існує дві основні системи координат – система СК – 42 та система СК – 63. Окрім цих двох систем, у великих містах для великомасштабних топографічних та кадастрових зйомок використовують місцеві системи координат, які базуються на проекції Гаусса-Крюгера.

2.2. Система геодезичних параметрів „Світова Геодезична Система”.

2.2.1. Система параметрів СГС (WGS – 84) містить у собі: фундаментальні геодезичні постійні, систему координат СГС, що закріплюється координатами пунктів космічної геодезичної мережі, параметри ЗЗЕ, характеристики моделі ГПЗ (GPS), елементи трансформування між геоцентричною системою координат СГС і різними національними системами координат.

Чисельні значення елементів трансформування між системою координат ПЗ і системою координат СГС, а також порядок використання елементів трансформування приведені у додатку 1.

2.2.2. Теоретичне визначення системи координат ПЗ ґрунтується на наступних положеннях:

а) початок системи координат розташовано в центрі мас Землі;

б) вісь спрямована в Міжнародний умовний початок;

в) вісь лежить у площині початкового астрономічного меридіана, установленого Міжнародним бюро часу;

г) вісь доповнює систему до правої.

2.2.3. Положення точок у системі СГС може бути отримане у вигляді просторових прямокутних чи геодезичних координат.

Геодезичні координати відносяться до ЗЗЕ, розміри якого визначаються значеннями великої півосі = 6378137 м і стиску = 1/298,.

Центр еліпсоїда збігається з початком системи координат СГС, вісь обертання еліпсоїда збігається з віссю , а площина початкового меридіана – із площиною.

2.3. Система геодезичних параметрів „Параметри Землі”.

2.3.1. Система ПЗ містить у собі: фундаментальні геодезичні постійні, параметри ЗЗЕ, систему координат ПЗ, що закріплюється координатами пунктів космічної геодезичної мережі, характеристики моделі ГПЗ і елементи трансформування між системою координат ПЗ і національними референцними системами.

2.3.2. Теоретичне визначення системи координат СГС ґрунтується на положеннях, аналогічних визначенню системи координат ПЗ, наведених у п. 2.2.2 цієї Методики.

2.3.3. Положення точок у системі ПЗ може бути отримане у вигляді просторових прямокутних чи геодезичних координат.

Геодезичні координати відносяться до ЗЗЕ, розміри якого визначаються значеннями великої півосі = 6378136 м і стиску = 1/298,25784.

Центр ЗЗЕ збігається з початком системи координат ПЗ, вісь обертання еліпсоїда – з віссю , а площина початкового меридіана – із площиною .

3. Географічне положення Київської області

3.1. Територія Київської області знаходиться на півночі України і простягається в межах 49,2° – 51,5° північної широти та 29,3° – 32,2° східної довготи (див. мал. 1).

Мал. 1. Поділ на зони території Київської області в системах координат СК – 63 та СК – 42

На мал. 1 схематично показано положення Київської області з нанесеними зонами системи координат СК – 63 та СК – 42. Київська область лежить у двох зонах – як в системі СК – 63 (зони 3 та 4) так і в системі СК – 42 (зони 5 та 6). Більшість території області, розташованої в системі СК – 42, лежить в зоні максимальних спотворень довжин.

3.2. Прямокутні координати одних і тих же точок в системі СК – 63 і системі СК – 42 суттєво відрізняються. Оскільки осьові меридіани в зонах Гаусса-Крюгера різні: в СК – 63 осьовий меридіан третьої зони рівний 29,5°, а четвертої – 32,5°, в СК – 42 осьовий меридіан п’ятої та шостої зон відповідно рівні 27° та 33°. Крім того, в трьох- та шестиградусних зонах відрізняються початкові координати . Якщо ж перейти до криволінійних геодезичних координат , то вони будуть співпадати.

4. Методика перерахування координат СК – 63 в СК – UTM

4.1. Існують два види перерахування координат із однієї референцної системи в іншу:

- перерахування просторових прямокутних чи геодезичних координат однієї координатної системи в іншу з використанням точно відомих параметрів перерахування;

- перерахування координат із однієї системи в іншу з використанням пунктів, координати яких відомі в обох системах (метод опорних пунктів).

4.2. Перерахування координат СК – 63 в СК – UTM це перерахування координат із референцної системи, що базується на еліпсоїді Красовського у геодезичну систему координат, що базується на еліпсоїді WGS – 84. В цьому випадку можливе ефективне застосування супутникових радіонавігаційних систем.

4.3. Завдання перерахування координат із однієї системи в іншу вирішується в два етапи: на першому за допомогою опорних пунктів фахівці знаходять параметри перерахування для країни чи окремого регіону, а на другому – користувачі використовують знайдені параметри для перерахування координат. Для перерахування координат використовують перерахування Гельмерта, що складається з п’яти етапів:

- Перерахування плоских прямокутних координат із системи СК – 63 (СК – 42) у криволінійні геодезичні координати .

- Перерахування криволінійних геодезичних координат в просторові геоцентричні координати в референцній системі (Пулково – 42).

- Перерахування просторових геоцентричних координат із референцної системи (Пулково – 42) в просторові геоцентричні координати світової геодезичної системи координат (WGS – 84).

- Перерахування просторових геоцентричних координат світової геодезичної системи координат (WGS – 84) в криволінійні геодезичні координати світової геодезичної системи координат (WGS – 84).

- Перерахування криволінійних геодезичних координат світової геодезичної системи координат (WGS – 84) в систему плоских прямокутних координат UTM.

4.4. Перерахування із системи плоских прямокутних координат UTM світової геодезичної системи координат (WGS – 84) в систему СК – 63 (СК – 42) референцної системи Пулково – 42 відбувається у зворотному порядку.

4.5. Перерахування плоских прямокутних координат точки у криволінійні геодезичні координати .

Референцною системою прийнятою на території України є референц-еліпсоїд Красовського (Пулково – 42). Математичною основою системи координат, що застосовується в Україні (СК – 63, СК – 42 або UTM[1]) є проекція Гаусса-Крюгера. Положення точки в цій проекції визначається прямокутними координатами:

– відстань від екватору до перпендикуляру опущеного з точки на осьовий меридіан зони,

– відстань від точки до осьового меридіана зони.

Нехай задані плоскі прямокутні координати точки в одній із систем координат – СК – 63, СК – 42 або UTM. Зв’язок між координатою у цих системах координат та координатою в проекції Гаусса-Крюгера визначається за наступними формулами:

, , ,

де – координата в проекції Гаусса-Крюгера,

– масштаб по осьовому меридіану,

– поправка, що для Київської області дорівнює 9214.692 м.

Координата обчислюється за наступними формулами:

,

,

. (1а)

Координата у цих системах координат складається із трьох частин – номера зони , поправки в координату , що чисельно рівна ординаті осьового меридіану та відстані від точки до осьового меридіана зони помноженій на масштаб по осьовому меридіану:

,

номер зони обчислюється за формулою:

, (1б)

де […] – ціла частина виразу, у квадратних дужках,

– для 6-градусної зони СК – 42 та UTM,

– для 3-градусної зони СК – 63.

Координата – відстань від точки до осьового меридіана зони проекції Гаусса-Крюгера, обчислюється за формулою:

(2)

Координата для точок, що лежать зліва від осьового меридіану буде від’ємною.

Координата дає змогу визначити умовну точку з криволінійними координатами (,), яка знаходиться на осьовому меридіані і абсциса якої дорівнює координаті . Для еліпсоїда Красовського широта може бути легко отримана із таблиць довжин меридіанів, але з огляду на те, що алгоритм має застосовуватися і для WGS – 84, широту слід обчислювати за допомогою ітеративного алгоритму:

; (3)

; (4)

; (5)

(6)

Тут і в радіанах, а коефіцієнти обчислюються за формулами:

;

;

;

. (7)

Обчислення за формулами (4 – 6) проводять доти доки поправка не стане меншою від 0,0001″ (3 – 4 ітерації).

Формули (3 – 7) для обчислення коефіцієнтів виведені через параметри еліпсоїда і придатні як для еліпсоїда Красовського так і для WGS – 84.

Визначивши обчислюємо криволінійні геодезичні координати і за формулами:

;

; (8)

У формулах (8) – довгота осьового меридіана зони, що визначається за формулами:

– для СК – 63;

– для СК – 42;

– для UTM, (9)

де - кількість градусів у радіані.

Коефіцієнт і (8) визначаються за формулами:

;

;

;

;

;

,

де (10)

Формули (8) дають змогу обчислити криволінійні координати і з помилкою, що не перевищує 0,0001″.

У додатку 2 наведено приклади перерахування координат із плоских прямокутних координат точки у криволінійні геодезичні координати .

4.6. Перерахування криволінійних геодезичних координат точки у плоскі прямокутні координати .

Перерахування криволінійних геодезичних координат у плоскі прямокутні координати відбувається в зворотному порядку. Спочатку обчислюється - різниця довгот точки, що визначається та осьового меридіана зони:

,

де - геодезична довгота точки, що визначається (в градусах);

- довгота осьового меридіана зони, що визначається за формулами (9);

- номер шестиградусної зони в проекції Гаусса-Крюгера, що обчислюється за формулами:

- для СК – 63;

- для СК – 42;

- для UTM. (11)

Обчислення координат проекції Гаусса-Крюгера проводиться за формулами:

,

, (12)

де - масштаб по осьовому меридіану,

- відстань від екватора до паралелі з широтою ,

- обчислюється за формулою (10),

а коефіцієнти та за формулами:

,

,

,

,

,

.

Остаточні координати обчислюються за формулами:

, - для СК – 42 та UTM;

, - для СК –

У додатку 3 наведено приклади перерахування координат із криволінійних геодезичних координат у плоскі прямокутні координати точки .

4.7. Перерахування криволінійних геодезичних координат у геоцентричні просторові.

Перерахування криволінійних геодезичних координат у прямокутні просторові (геоцентричні) в рамках однієї референцної системи здійснюється за допомогою формул:

,

,

, (14)

де - геоцентричні координати точки;

- геодезичні координати точки (відповідно широта і довгота, рад, і висота над рівнем еліпсоїда, м);

- радіус кривизни першого вертикала, м;

- ексцентриситет еліпсоїда.

Значення радіусів кривизни першого вертикала і меридіана обчислюється за формулами:

,

, (15)

де - велика піввісь еліпсоїда, м;

- стиск еліпсоїда.

Складнощі можуть виникнути при перерахунку криволінійних геодезичних координат на референц-еліпсоїді Красовського. Для переходу від нормальних висот до геодезичних необхідно знати висоти квазігеоїда (геоїда).

У додатку 4 наведено приклади перерахування координат із криволінійних геодезичних координат у просторові прямокутні координати точки .

Для перерахування просторових прямокутних координат у геодезичні обчислювальний процес дещо ускладнюється – необхідно провести ітерації при обчисленні геодезичної широти і геодезичної висоти.

Для цього використовують наступний алгоритм:

1) знаходять довготу точки:

(16)

Якщо < 0, то ;

2) організовують ітеративний процес:

,

, (17)

, (18)

. (19)

Обчислення за формулами (17 – 19) здійснюється доти доки різниця між двома наступними значеннями не стане менше 0,0001″. У цьому випадку погрішність обчислення геодезичної висоти не перевищує 0,003 м. Перехід від геодезичних висот до нормальних відбувається аналогічно.

Після закінчення ітерацій знаходять геодезичну висоту точки:

(20)

У додатку 5 наведено приклади перерахування координат із просторових прямокутних координат точки у криволінійні геодезичні координати .

4.8. Перерахування координат між різними референцними системами.

Користувачам ГСП (GPS) необхідно виконувати перерахування координат із системи СГС (WGS – 84) у референцну систему координат України і навпаки.

При відомих елементах трансформування (перерахування) зазначені перерахування координат найчастіше виконують за формулами Гельмерта, використовуючи сім елементів трансформування, точність яких визначає точність перетворень.

Елементи трансформування між системами координат СГС і СК – 42 наведені у додатку 1.

Перерахування просторових прямокутних координат (геоцентричних) виконують за формулою:

, (21)

де - лінійні елементи трансформування, м;

- кутові елементи трансформування, рад;

- масштаб перерахування систем координат.

Обернене перерахування прямокутних координат здійснюється за формулою:

, (22)

4.9. Пошук параметрів для перерахування координат між різними референцними системами.

Для перерахування координат із однієї референцної системи в іншу необхідно знати параметри перерахування. У випадках, коли параметри перерахування невідомі, задачу розв’язують з використанням пунктів, координати яких відомі в обох системах (метод опорних пунктів).

Розглянемо метод знаходження параметрів перерахування для методу Гельмерта.

Позначимо:

- вектор прямокутних просторових координат у референцній системі WGS – 84;

- вектор прямокутних просторових координат у референцній системі Пулково – 42;

- вектор зміщення центру одного еліпсоїда відносно іншого.

- матриця повороту.

З рівняння перетворення Гельмерта із WGS – 84 в Пулково – 42 можна записати:

(23)

Оскільки у більшості випадків геодезичні висоти в референцній системі Пулково – 42 не відомі, то при розрахунку векторів та геодезичні висоти у формулах (14) слід прийняти рівними нулю.

Рівняння (23) складають для кожної точки, що має координати в обох референцних системах. Для того, щоб визначити сім параметрів Гельмерта точок має бути не менше трьох.

Розв’язавши систему рівняння (23) знаходимо параметри перерахування (див. додаток 1).

У додатку 6 наведено результат перерахування координат із системи СК – 63 (Пулково – 42) в координатну систему UTM референцної системи WGS – 84.

Керівник

апарату адміністрації

[1] В деяких країнах у проекції UTM змінені осі координат – вісь Y співпадає з осьовим меридіаном, а вісь X паралельна екватору. В таких випадках перед початком обчислень координат слід поміняти місцями.