Кути у просторі. Практичне застосування

Кути у просторі. Практичне застосування

Мета. Вдосконалювати навички знаходження кутів у просторі. Розкривати прикладну спрямо­ваність курсу геометрії і таким чином стимулю­вати пізнавальну активність учнів.

Обладнання. Виставка приладів: екліметр, ма­лий теодоліт, нівелір, кутоміри технічні, рубанок, слюсарне зубило, різець, стамеска, електрод, ма­кет диска лущильника, дорожній знак укосу, таб­лиці і макети, виготовлені доповідачами.

Девіз уроку (записати на дошці).

«Джерело і мета математики — в практиці»

(академік єв).

I. Актуалізація. Фронтальна бесіда.

— Види кутів у просторі? ,

Сформулювати відповідні означення, використову­ючи запропоновані каркасні моделі.

II. Вступне слово вчителя.

Під час пояснення нового матеріалу я намагаюсь переконувати вас, що всі знання дуже потрібні, прос­то необхідні, у практичній діяльності людини. Щоб іще раз переконатись, що «Джерело і мета математи­ки — в практиці», послухаємо вісті з робочих місць ваших батьків. Кращі розповіді додадуть вам 2 бали до атестації. їх визначить клас. Завдання класові: скласти план-конспект розповідей.

III. У результаті пошуків інформація виявилась такою:

1) Дорогобудівники.

При будівництві ділянок доріг, гребель, каналів, похилих дахів користуються кутом поперечного і поздовжнього схилу. Тобто на мал. 1

ÐСFD — кут схи­лу і tgСДF = СD/CF (1:3 або 33°). Маємо приклад ку­та між площинами, причому для встановлення лінії горизонталі часто використовують нівелір. На вис­тавці приладів можна розкрити принцип його дії.

Відомі також кути природного схилу сипучих ма­теріалів:

бурта картоплі — 45°,

вугілля — 42°,

ґрун­ту—40°,

глини — 30°,

піску — 25—35°.

їх ще нази­вають кутами природного укосу (між твірною наси­пу і площиною землі).

Мал. 1

2) Вісті з управління автошляхів.

При проектуванні і будівництві автомобільних доріг вираховують так званий кут перелому поздо­вжнього профілю дороги (див. мал. 2 — рухому мо­дель). Він зумовлює видимість зустрічних авто і час­то профіль змушено скруглюють, знімаючи верх стрімкого горба, щоб уникнути аварійно небезпеч­них ділянок траси. Маємо приклад використання ку­та між півплощинами.

Мал. 2

3) Вісті з Укрзалізниці.

У точках спряження паралельних колій і на пово­ротах кут укосу створюють спеціально, щоб зрівно­важити відцентровану силу (мал. 3).

Для цього зовнішню рейку піднімають над внутрішньою — міліметр підйому на кожний метр шляху (але не біль­ше h = 125 мм сумарно, тобто кут укосу буде обра­ховуватись так: tg max = h/l = 0.0822;a max = 5°

Мал. З

4) Вісті з селянської спілки.

Відразу після збору урожаю ґрунт розпушують на невелику глибину, щоб спровокувати до росту насіння бур'янів. Такий обробіток називається лущенням. Диск лущильника представляє собою ввігнутий диск-тарілку (с( = 450 мм), встановлений вертикально під деяким кутом, а до напрямку руху, його називають «кут атаки» (мал. 4). При h = 5 см, а = 31°.

Мал. 4

Диск лущильника бур'янів встановлюють не вздовж напряму руху трактора, а під кутом 31° до цього нап­ряму оптимально. Під більшим кутом не можна, бо диск швидко обірве опір грунту.

Напрям сили тяги причіпного плуга повинен ста­новити із поверхнею землі 26° оптимально, щоб зу­силля трактора не буди надто великі і огріхи менші (мал. 5).

Тут спостерігаємо використання кута між похи­лою і площиною. Самі механізатори це не обрахову­ють, а намагаються під час ремонту зберегти вигляд, створений інженерами.

Мал. 5

5) Вісті з будівництва.

При зварюванні татові зовсім не байдуже, під яким кутом тримати електрод, а під яким — газовий пальник до поверхні металу. Електрод обов'язково тримати під кутом 45° до поверхні зварювання, бо в разі збільшення кута шлаки і шкідливі домішки бу­дуть потрапляти в зону зварювання, що дасть не­якісний шов зварювання (демонструється розміщен­ня електродів). При меншому куті буде поганий про­вар металу і спостерігатиметься його розбризкуван­ня. Отже, 45° — оптимальний кут між похилим електродом і площиною зварювання.

6) Вісті з аеропорту.

Кути між мимобіжними прямими враховують при прокладанні повітряних трас для літаків; кут між прямою і площиною — при зльоті і посадці літаків. Пожежний літак приземляється на воду тільки під строго визначеним кутом (величина не повідомля­лась), оскільки при його перевищені буде сильний удар об воду і можливий вибух.

7) Заочна екскурсія у шкільну майстерню, де ми зустрічаємо повсюдне врахування кутів різних видів.

Наприклад:

· лезо рубанка заточують під кутом 30°-35°, а встановлюють під кутом 45°—50°, до площини пі­дошви (демонструємо це),

· слюсарні зубила заточу­ють для чавуну, сталі під кутом 70°;

· міді, латуні — 45°;

· алюмінієвих сплавів — 35°.

Свої норми кутів заточування для різців, стамесок, сокир. Для перевірки вказаних кутів існують шаблони і кутоміри (їх можна подивитись на виставці чи

більш детально розповісти принципи дії).

Подача деталі в токарному станку найчастіше — Чи може служити мал. 86 здійснюється під кутом до горизонтальної площини.

8) У геодезії і картографії, маркшейдерській справі (підземні прохідники) — від простих вимірювань до найскладніших — усім править знання про кути. На виставці ми маємо екліметр — пристрій для вимірювання величини кута нахилу прямої до горизонту

(мал. 6).

ОР - нитка з вантажем, яка показує на шкалі величину шуканого Ð РОВ.

Доведіть: ÐРОВ = ÐРSО(ÐSОР + ÐРОВ = 90° і ÐРSО + ÐSОР = 90 °).

Знання про кути і декартові координати допомагає встановити напрям прокладання тунелю в скелі, напрям підземних комунікацій (напрям лінії метро) у місті. Адже треба ,врахувати всі вже існуючі кабелі, труби, допустимі відстані до них.

Знаючи початкові і кінцеві координати нового об'єкта вираховують кут його прокладання

IV. Розв'язування задач.

Перш ніж розв'язувати серйозні практичні задачі, косинусів сояа= 1/14; а«86°.

які ставить життя, та перекладати їх на мову математики (створювати математичні моделі), ми повинні освоїти звичайний шкільний курс математики — це

перша сходинка, без якої не буває другої, третьої..

Отже, розв'язування задач різних рівнів складності.

№1

Під яким кутом відрізок АВ, довжиною 10 см, перетинає площину a, якщо сума проекцій дорівнює половині довжини даного відрізка

№ 2

В основі піраміди лежить прямокутний трикутник з кутом b. Всі бічні грані піраміди утворюють з площиною основи кут a. Визначи­ти бічну поверхню піраміди, якщо її висота дорівнює h. Обчислити, якщо h=12 см, a =60°, b =30°.

Нехай SABC — задана піраміда, SO=h - висота, ÐACB = 90°,Ð ABC = b.

Точка О є центром вписаного в трикутник АВС кола, тобто точкою перетину його бісектрис. Проведемо SM ┴ BC (MÌ ВС). Тоді ОМ ┴ ВС і за умовою ÐSMO = a.

Ортогональною проекцією трикутника SBC на площину основи є трикутник ОВС. Тому S OBC = SSBC cosa

Аналогічно S OAB = SSAB cosa, S OAC = SSAC cosa

Тоді S ocн = SОАВ+ SОАС+ SОВС= (SSАВ + S SAC +SSBC) cosa = Sб cosa, звідки

Sб= S ocн/ cosa

Знайдемо Sосн.

3 трикутника SOM(Ð O=90°):

ОМ = h ctg a

З трикутника OBM (ÐM=90°, Ð В= b/2): MB=OMctg b/2 = hctg bctg b /2

Oскільки в трикутнику OMC ÐM=90°, Ð С=45°, то Ð O=45°, звідки CM=OM=

hсtg a.

Тоді CB=CM+MB=h ctg a+h ctg a ctg b/2 = h ctg a (1 + ctg b/2)

З трикутника ABC: AC=CB tg b.

Тоді Socн= ½ AC CB =1/2CB2-tg b= ½ h2 ctg 2atg b(1+ctg b/2)2

При h=12 cm, a=60°, b=30° маємо: Sб=96(3+2 ) см2.

І V. Підсумки уроку.