Числові нерівності та їх властивості

Числові нерівності та їх властивості.

Означення. a>b, якщо а-в>0,

a<b, якщо a-b<0.

Властивості числових нерівностей.

1) Якщо а>b, то b<a (необоротність, антисиметричність нерівності).

2) Якщо a>b і b>c, то a>c ( транзитивність).

3) Якщо a>b і с будь-яке число, то a+c>b+c.

Наслідок. Якщо a>b+c, то a-c>b.

4) Якщо a>b і c>0, то ac>bc.

Наслідок. Якщо a>b i c>0, то .

5) Якщо a>b і c<0, то ac<bc.

Наслідок. Якщо a>b і с<0, то .

Наслідок. Якщо a>b, a>0, b>0, то .

6) Якщо а>b і c>d, то a+c>b+d.

7) Якщо a>b і c<d, то a-c>b-d.

8) Якщо a>b і c>d, та a>0, b>0, c>0, d>0, то ac>bd.

9) Якщо a>b, c<d, a>0, b>0, c>0, d>0, то .

10) Якщо a>b, a>0, b>0, то an>bn, nN.

11) Якщо an>bn, a>0, b>0, то a>b.

Доведення нерівностей за допомогою означення.

Доведення багатьох нерівностей ґрунтується на означенні нерівності, тобто довести, що a(ab), це означає довести, що a-b(a-b0).

1) Довести нерівність x2+y2-xy-x-y+1 0

Доведення.

x2+y2-xy-x-y+1=(2x2+2y2-2xy-2x-2y+2):2=(x2-2xy+y2+x2-2x+1+y2-2y+1):2=

=((x-y)2+(x-1)2+(y-1)2):2 0.

Ця нерівність очевидна.

2) Довести нерівність 4x4-4x3+5x2-4x+1 0

Доведення.

4x4-4x3+5x2-4x+1=4x4+4x2-4x3-4x+x2+1=4x2(x2+1)-

-4x(x2+1)+(x2+1)=(x2+1)(4x2-4x+1)=(x2+1)(2x2-1)20

3) Довести нерівність (x-1)(x-3)(x-4)(x-6)+90.

Доведення.

(x-1)(x-3)(x-4)(x-6)+9=(x-1)(x-6)(x-3)(x-4)+9=(x2-7x+6)(x2-7x+12)+9=((x2-

-7x+9)-3)((x2-7x+9)+3)+9=(x2-7x+9)2-9+9=(x2--7x+9)20.

4)Довести нерівність 10x3+>9x2-9x, якщо x>0,

Доведення.

10x3+-9x2+9x=(10x3-9x2+9x)+=x(10x2-9x+9)+=

=x((x)2-+-+9)+=x((x-)2+)+>0.

Ця нерівність очевидна при x>0.

5) Довести нерівність x10+x4+1>x7+x2.

Доведення.

x10+x4+1>x7+x2,

x10-x7+x4-x2+1>0.

х10-x7+x4-x2+1=(x10-x7+)+(-x2+1)+=x4(x6-x3+)+(-x2+1)+=

=x4(x3-)2+(-1)2+>0.

Ця нерівність очевидна.

3. Класичні нерівності. Доведення нерівностей за допомогою класичних нерівностей.

Якщо a>0, b>0, то

- їх середнє арифметичне,

- середнє геометричне,

- середнє квадратичне,

- середнє гармонічне.

Мають місце нерівності:

Доведемо ці нерівності.

1)

Доведення.

,

,

2a2+2b2-a2-2ab-b20,

a2-2ab+b20,

(a-b)20. Ця нерівність очевидна.

2) ,

Доведення.

a+b,

Ця нерівність очевидна.

3)

Доведення.

,

1,

a+b,

a-2

Ця нерівність очевидна.

3.1. Використання нерівності трьох квадратів.

a2+b2+c2ab+bc+ac.

Доведення.

a2+b2+c2-ab-bc-ac=(2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac):2=(a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+c2-2ac+a2):2=((a-b)2+(b-c)2+(c-a)2):20.

1) Довести, що a4+b4+c4abc(a+b+c), якщо a>0, b>0, c>0.

Доведення.

a4+b4+c4=(a2)2+(b2)2+(c2)2a2b2+b2c2+a2c2=(ab)2+(bc)2+(ac)2abbc+bcac+

+abac=abc(a+b+c).

2) Довести, що a2+b2+c2 ( ++ ), якщо a0, b0, c0.

Доведення.

a2+b2+c2ab+bc+ac=

3) Довести, що (a+b+c)23(a2+b2+c2) .

Доведення.

a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc3a2+3b2+3c2,

2ab+2ac+2bc2a2+2b2+2c2,

ab+ac+bca2+b2+c2.

4)Довести, що

Доведення.

(a+b+c)23(ab+ac+bc),

a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc3ab+3ac+3bc,

a2+b2+c2ab+bc+ac

5) Довести, що , якщо abc>0.

Доведення.

a8+b8+c8=(a4)2+(b4)2+(c4)2a4b4+b4c4+a4c4=(a2b2)2+(b2c2)2+(a2c2)2a2b2b2c2+b2c2a2c2 +a2b2a2c2=a2b2c2(b2+c2+a2)a2b2c2(ab+bc+ac).

Отже, a8+b8+c8a2b2c2(ab+bc+ac).

Поділимо на a3b3c3, тоді

3.2. Використання нерівності обернених величин.

+2, a>0, b>0.

Доведення.

+-20,

1) Довести, що якщо a>0, b>0, c>0.

Доведення.

=+++++=(+)+(+)+(+)2+2+2=6

2) Довести, що (a+b+c) , якщо a>0, b>0, c>0.

Доведення.

1++++1++++19,

+39.

Якщо , то

+32+2+2+3=9

3) Довести, що 1

Доведення.

===

=.

3.3 Використання нерівності Коші.

, a1, a2, … , an 0.

Частковий випадок: , a0, b0.

1) Довести, що 8, якщо a>0, b>0, c>0.

Доведення.

1+; 1+2; 1+2.

Перемножимо почленно ці нерівності:

22=8=8.

2) Довести, що 3, якщо a>0, b>0, c>0.

Доведення.

3=3=3.

3) Довести, що , якщо a>0, b>0, c>0, d>o.

Доведення.

.

4)Довести, що 64ab(a+b)2, a0, b0.

Доведення.

=(a+2+b)4=((a+b)+2)4.

Як відомо ; a+b2.

Тоді ((a+b)+2)4.

5) Довести, що 27, якщо a>0, b>0, c>0.

Доведення.

За нерівністю Коші

a2+a+13; b2+b+13b; c2+c+13c.

Перемножимо почленно ці нерівності: (a2+a+1)(b2+b+1)(c2+c+1)3a 3b 3c.

Поділимо на abc: .

3.4. Використання нерівності Коші-Буняковського.

.

Доведення.

Розглянемо суму (a1+b1x)2+(a2+b2x)2 + … + (an+bnx)2.

Вона невід’ємна. Тоді (a1+b1x)2+(a2+b2x)2 + … + (an+bnx)20,

,

Оскільки цей квадратний тричлен відносно х невід’ємний, то його дискримінант не більше нуля. Отже,

D=4(a1b1+a2b2+…+anbn)2+4(0,

(a1b1+a2b2+…+anbn)2.

1) Довести нерівність

a1+a2+…+a10 .

Доведення.

Скористаємося нерівністю Коші-Буняковського:

(x1y1+x2y2+…+xnyn)2,

x1y1+x2y2+…+xnyn,

Оскільки ; ; … ; ; ;

Тоді

a1+a2+…+a10 =++…++

..

Отже, a1+a2+…+a10 .

Піднесемо обидві частини нерівності до квадрату та скоротимо на (a1+a2+…+a10). Отримаємо нерівність a1+a2+…+a10 .

4. Доведення нерівностей методом інтервалів.

Під час доведення нерівностей використовують метод інтервалів. Він полягає в тому, що всю числову вісь розбивають на інтервали і доводять нерівність на кожному з них.

1) x8-x5+x2-x+1>0.

Доведення.

Якщо x<0, то x8+(-x5)+x2+(-x)+1>0, нерівність очевидна.

Якщо 0 x1, то x8+x2(1-x3)+(1-x)>0.

Якщо x>1, то x5(x3-1)+x(x-1)+1>0.

5. Доведення нерівностей методом оцінок.

1) Довести нерівність.

, n N.

Доведення. Ліва частина нерівності містить n доданків.

>; >; … ;>; =.

Тоді

++…+++…+=n=.

2) Довести нерівність

+ +…+ <1-, nN, n>1.

Доведення. Якщо , то

; ; … ; .

Тоді

.

3) Довести нерівність

, тo nN, n.

Доведення.

Якщо , то

=

=

6. Доведення нерівностей з використанням властивостей квадратного тричлена.

Для доведення нерівностей часто використовують властивості квадратного тричлена.

f(x)=ax2+bx+c

Якщо D<0, a<0 то f(x)<0.

Якщо D<0, a>0 то f(x)>0.

Якщо D=0, a<0 то f(x)0.

Якщо D=0, a>0 то f(x)0.

1) Довести нерівність x2+5y2-4xy+2x-6y+3>0.

Доведення.

x2+5y2-4xy+2x-6y+3=x2+2(1-2y)x+(5y2-6y+3).

D=(2(1-2y))2-4(5y2-6y+3)=4-16y+16y2-20y2+24y-12=-4y2+8y-8=-4(y2-2y+2)=

=-4((y-1)2+1).

D<0 для будь-якого y, тоді квадратний тричлен x2+2(1-2y)x+(5y2-6y+3)>0 для будь-яких x та y.

2) Довести нерівність x2+2xy+3y2+2x+6y+30.

Доведення.

x2+2xy+3y2+2x+6y+3=x2+2(y+1)x+(3y2+6y+3)=x2+2(y+1)x+3(y+1)2.

D=(2(y+1))2-4·3(y+1)2=4(y+1)2-12(y+1)2=-8(y+1)20 при будь-якому значенні y.

Отже, x2+2xy+3y2+2x+6y+30 при будь-яких значеннях x та y.

7. Доведення нерівностей методом від супротивного.

1) Довести нерівність ,

a0, b0, c0.

Доведення.

Припустимо, що

Піднесемо обидві частини нерівності до квадрату, отримаємо

,

(a+b+c)2>3(a2+b2+c2),

a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac>3a2+3b2+3c2,

-2a2-2b2-2c2+2ab+2bc+2ac>0,

-a2+2ab-b2-a2+2ac-c2-c2+2bc-b2>0,

-(a-b)2-(a-c)2-(b-c)2>0.

Дістали суперечність, бо сума квадратів не може бути від’ємним числом. Отже, дану за умовою нерівність доведено.

2) Довести нерівність ,

a0, b0, c0,d0.

Доведення І спосіб

Припустимо, що .

Піднесемо обидві частини нерівності до квадрату, отримаємо

(a+c)(b+d)<ab+2+cd,

ab+ad+cb+cd<ab+2+cd,

ad+cb<2,

.

Дістали суперечність нерівності Коші. Отже, дану за умовою нерівність доведено.

ІІ спосіб.

.

8. Доведення нерівностей методом математичної індукції.

Суть метода математичної індукції можна сформулювати в такій формі:

якщо деяке твердження K(n), у якому n N правильне для n=1 і з припущення, що воно правильне для n=k (де k - будь-яке натуральне число), випливає, що твердження правильне і для наступного члена n=k+1, то тоді твердження K(n) правильне для будь-якого натурального числа n.

1) Довести нерівність >1, n N

Доведення.

a) при n=1 >1;

b) припустимо, що при n=k має місце нерівність

>1;

c) доведемо, що при n=k +1 виконується нерівність

,

>1,

+.

Якщо , то

,

,

,

,

9(k+1)2>(3k+4)(3k+2),

9k2+18k+9>9k2+6k+12k+8,

9>8.

2. Довести, що 2n>2n+1, n N, n3.

Доведення.

a) при n=3 23>2·3+1;

b) припустимо, що при n=k виконується нерівність 2k>2K+1;

c) доведемо, що при n=k+1 виконується нерівність 2k+1>2(k+1)+1;

2k+1>2k+3.

2k+1=2k ·2>2(2k+1)=4k+2=(2k+3)+(2k-1).

Отже, 2k+1>(2k+3)+(2k-1).

Але 2k-1>0 при kN, тоді 2k+1>2k+3.