УДК 519.6:517.925
Розв’язування початково-крайових задач міграції домішок
П. Вагін, А. Ямелинець
Львівський національний університет імені Івана Франка
вул. Університетська, 1, м. Львів, 79000, e-mail: vahin@franko.
Реалізовано розв’язування двохвимірної задачі мігрування домішки. Використано процедуру дискретизації Гальоркіна по відношенню до еволюційної варіаційної задачі мігрування. Вибір базисних функцій здійснювався методом скінченних елементів. Для регуляризації чисельних розв’язків використано стабілізовану схему найменших квадратів.
Ключові слова: мігрування домішки, варіаційна задача, конвективне перенесення, біохімічний розпад, білінійні форми, стабілізована схема МСЕ
1. ВСТУП
Прогнозування наслідків перенесення та дифузії певної субстанції (тепла, вологи, поживних речовин, забруднювальних домішок, частинок ґрунту тощо) у рухомому середовищі є важливою передумовою вирішення різноманітних проблем охорони довкілля та сучасного господарювання [1]. Математичне моделювання згаданого процесу зумовлює потребу розв’язування такої задачі.
2. Формулювання початково–крайової задачі міграції домішок
Виділимо в рухомому суцільному нестисливому середовищі обмежену зв’язну область 
точок 
евклідового простору 
. Нехай межа 
неперервна за Ліпшицем. Позначимо через 
одиничний вектор зовнішньої нормалі до 
, 
.
Припустимо, що рух частинок цього середовища описує відомий вектор швидкості 
, де 
–змінна часу 
.
Сформулюємо тепер початково–крайову задачу про перенесення (дифузію) пасивної субстанції у такому середовищі.
Знайти концентрацію домішки 
, таку що
(1)
Тут 
– матриця заданих коефіцієнтів турбулентності (дифузії), що має властивість симетрії та додатної визначеності:
(2)
– коефіцієнт біохімічного розпаду субстанції (обернена величина до інтервалу часу, за який концентрація домішки порівняно з початковою концентрацією 
зменшиться в 
разів), 
– коефіцієнт взаємодії з контактуючим середовищем; 
та 
– інтенсивності джерел субстанції, розподілених в області та на межі , відповідно; – заданий розподіл домішки в області у початковий момент часу,
. (3)
3. Варіаційне формулювання задачі міграції домішок
Уведемо простори:
, (4)
і такі позначення:
, 
, 
, 
,
, 
, (5)
, 
.
де білінійні форми 
відповідають за дифузію, конвекцію та біохімічний розпад відповідно. Сформулюємо відповідну (1) еволюційну варіаційну задачу:
(6)
,
.
Ця варіаційна задача є коректно поставлена, і справджується така наступна оцінка градієнта розв’язку:
. (7)
4. Проекційно-сіткова схема
Для розв’язування варіаційної задачі (6) застосуємо напівдискретизацію Гальоркіна за просторовими змінними та однокрокову рекурентну процедуру інтегрування за часом.
Запишемо напівдискретизовану (за просторовими змінними) варіаційну задачу щодо варіаційної задачі (6):
, (8)
.
де 
– напівдискретна апроксимація Гальоркіна розв’язку 
задачі (6). Задачу (8) розв’язуємо методом скінченних елементів (МСЕ) з використанням лінійних апроксимацій. Тоді простір апроксимацій 
має вигляд
, (9)
де 
– розбиття області 
на трикутні скінченні елементи.
Розіб’ємо відрізок часу [0,T] на 
однакових частин 
, 
. Через 
позначимо параметр дискретизації по часу: 
. На кожному кроці відрізка розв’язок 
задачі (8) апроксимуємо лінійною функцією 
, яка є кусково-лінійною на відрізку 
. Функціонали 
та 
, апроксимуємо кусково-постійними функціями.
Позначивши
(10)
сформулюємо таку рекурентну схему обчислень:
, (11)
.
Ця рекурентна схема допускає єдиний розв’язок при 
, а також є безумовно стійкою в разі вибору параметра 
в межах 
.
5. Обчислювальні аспекти
Оскільки побудована схема передбачає відшукання функцій 
то скористаємося виразом:
, (12)
де 
– базис простору , 
– вектор невідомих коефіцієнтів. Наблизивши за допомогою цього базису дані задачі мігрування та конкретизувавши задачу (11) отримаємо
(13)
,
,
де
, 
, (14)
, 
.
Якщо врахувати, що базисні функції простори є функціями з компактними носіями, то варто в кожний момент часу обчислювати всі значення (14) на кожному окремому трикутнику, а потім підсумовувати їх за скінченними елементами. Також варто відзначити, що матриці 
та 
можна обчислити лише один раз і використовувати на всіх інших кроках обчислення. У білінійні форми 
, 
, 
та функціонал 
входять довільні функції 
, 
та 
. У загальному випадку для обчислення інтегралів у функціоналі та білінійних формах потрібно використати квадратурні формули для інтегрування по трикутнику. Та з огляду на те, що в цій роботі застосовуємо білінійні базисні функції, можна скористатись іншим методом: проінтерполювати ці функції по трикутнику We.
6. Особливості задачі
Відомо [3], що велика різниця в швидкостях конвективного та дифузійного перенесення призводить до сингулярних збурень задач мігрування. Відношення характерних значень згаданих швидкостей відоме у гідродинаміці як число Пекле його позначають
. (15)
У залежності від величини цього числа змінюється поведінка розв’язку задачі:
· при 
порядок рівняння зберігається, але конвективний член прямує до нуля; у цьому випадку ми позбавляємося антисиметричності в операторі задачі та отримуємо задачу з самоспряженим оператором.
· при 
наше параболічне рівняння другого порядку вироджується у гіперболічне рівняння першого порядку, оскільки дифузійний член прямує до нуля. У такому випадку розв’язки задач можуть мати внутрішні та примежові шари – дуже вузькі області, де самі розв’язки та їхні градієнти різко змінюються. Внаслідок цього, чисельні розв’язки, побудовані за схемою Гальоркіна, де параметр дискретизації занадто великий, щоб врахувати всі ці шари, можуть сильно осцилювати по всій області визначення.
Щоб усунути згадані недоліки розроблено концепції стабілізованих та адаптивних схем МСЕ [3].
Ми використали стабілізовану схему локалізованих квадратів [3], яка підміняє варіаційну задачу збуреною. Збурюючий доданок
(16)
утворює лінійну комбінацію варіаційних рівнянь методу найменших квадратів для мінімізації нев’язок
(17)
на кожному скінченному елементі 
триангуляції 
. Відповідно, коефіцієнти цієї лінійної комбінації можна розглядати, як штрафні множники за невиконання апроксимацією 
рівняння задачі (1) на скінченому елементі . З іншого боку, вибір коефіцієнтів 
повинен відбуватись у такий спосіб, щоб залишати схемі (13) достатньо можливостей для належного відтворення апроксимацією структури розв’язку варіаційної задачі (6). Наприклад, у даній роботі, при використанні лінійних апроксимацій параметр регуляризації визначається наступним чином:
, 
, 
. (18)
Тому цю схему можна розглядати, як регуляризацію задачі (6) за допомогою збалансованого штрафування нев’язки на елементах триангуляції .
7. Чисельні результати
Наступний тестовий приклад розв’язаний в праці [2] без використання адаптивної схеми. Ми наводимо порівняння результатів відшукання розв’язку класичної та збуреної задачі мігрування.
У прямокутній області 
розв’язували початково-крайову задачу (1), яка описує рух по колу початкового викиду субстанції. У цьому прикладі 
, 
, 
, — функція з компактним носієм, яка характеризує початковий розподіл субстанції і не дорівнює нулю лише в області 
. Отже, за одиничний відрізок часу середовище робить повний оберт навколо точки 
за рухом годинникової стрілки. Для інтегрування в часі використано схему (11) з параметрами 
. Обчислення виконані на 2304 білінійних елементах з 1201 вузлом. На рис.1 показано розподіл субстанції у початковий момент часу, на рис.2 — після п’яти кроків, на рис.3 — після 10 кроків. Ліворуч зображені поверхні розв’язків отримані за методикою описаною в праці [2], а праворуч із застосуванням адаптивної схеми.
Pис. 1
Рис. 2
Рис. 3
ЛІТЕРАТУРА
1. Математическое моделирование в проблеме окружающей среды. М.: Наука, 19с.
2. , Чисельне дослідження варіаційних задач міграції пасивних домішок //Вісн. Львів. ун-ту. Сер. мех.-мат. Вип. 44, 1996. С. 37-45.
3. , , Регуляризація чисельних розв’язків варіаційних задач міграції домішок: локалізовані найменші квадрати //Вісн. Львів. ун-ту. Сер. мех.-мат. 1999. Вип. 52. С. 59-71.
4. А. Проекцiйно-сiтковi методи розв’язування початково-крайових задач. К.: НМК ВО, 19с.
The Solution of SUBSTANCE MIGRATION PROBLEM
P. Vahin, A. Yamelynets
Ivan Franko National University of Lviv
Universytetska str, 1, Lviv, 79000, e-mail: vahin@franko.
Forecasting of consequences of transferring and diffusion of the certain substation (heat, moisture, nutritious substances, particle of a ground etc.) in mobile environment is the important precondition in the decision of various problems of protection of an environment and modern managing [1]. The mathematical modeling of the mentioned process results in solution necessity of convection-diffusion problem.
In this paper we consider an approach to the solution this task that is based on the finite-element scheme with use stability method “the least squares.
Key words: substance migration; variational problem; convective transport; biochemical decay; bilinear form; convection-diffusion problem
Стаття надійшла до редколегії дд. мм. рррр
Прийнята до друку
© Вагін П., 2002
