Текст до завдання "Текстовий редактор MS Word"

Текст до завдання "Текстовий редактор MS Word"

§ 4. Тригонометричні функції числового аргументу

Перш ніж вводити означення тригонометричних функцій числового аргументу, згадаємо, що синус, косинус, тангенс і котангенс довільного кута не залежать від радіуса R кола. Тому покладемо R = 1, а відповідне коло назвемо оди­ничним (мал. 1).

Виконаємо таку вправу: побудуємо на одиничному колі точки, на які відображується початкова точка Р0 (1; 0) при повороті навколо центра кола на кут α радіанів, якщо: а) α = 0; 6) α = ; в) α = ; г) α = —1; д) α = 2.

Розв'язання.

Числу 0 на одиничному колі (мал. 2) відповідає точка Р0(1; 0) — початок відліку.

Оскільки кут 90° дорівнює рад, то, поділивши на 3 кут рад, матимемо кут обертання рад, якому відповідає на колі точка , що відсікає частину дуги Р0.

Відомо, що кути, градусна чи радіанна міра яких виражається від’ємним числом, відкладають від радіуса ОР0 за годинниковою стрілкою; розділимо прямий кут, тобто кут рад навпіл і відкладемо кут від радіуса ОР0 у IV чверті, дістанемо точку .

Куту 1 рад відповідає дуга одиничного кола, довжин якої дорівнює радіусу R = 1; оскільки (1), а (2) , то точка Р1 лежить вище від точки .Точка буде симетричною їй відносно осі Ох і розміщена на одиничному колі у IV чверті.

Щоб знайти на одиничному колі точку Р2, досить від­класти від початкової точки у напрямі, протилежному рухові годинникової стрілки, дві дуги Р0 послідовно. Отже, маємо залежності між дійсним числом а і абсци­сою та ординатою відповідної точки одиничного кола, на яку відображується початкова точка Р0 (1; 0) при повороті навколо центра кола на кут а рад. Ці залежності дістали назву тригонометричних функцій числа, або тригономет­ричних функцій числового аргументу (мал. 2).

Розв'язуючи цю вправу, помічаємо, що кожному дійс­ному числу а на одиничному колі відповідає точка , по­ложення якої залежить від числа а.

Кожній точці на одиничному колі відповідають певна абсциса і ордината, які також залежать від α.

Отже, маємо залежності між дійсним числом α і абсцисою та ординатою відповідної точки одиничного кола, на яку відображається початкова точка Р0(1; 0) при повороті навколо центра кола на кут α рад. Ці залежності дістали назву тригонометричних функцій числа або тригонометричних функцій числового аргументу.

Оскільки R = 1, то означення тригонометричних функ­цій як відношення ординати і абсциси до радіуса, які були введені для довільних кутів α і R спрощуються.

Синусом числа називається ордината точки одиничного кола, в яку переходить початкова точка Р0 (1; 0) при повороті навколо центра кола на кут α рад, і позначається sin α.

Косинусом числа а називається абсциса точки оди­ничного кола, в яку переходить початкова точка Р0 (1; 0) при повороті навколо центра кола на кут α рад, і позна­чається соs α.

Тангенсом числа а називається відношення (3), а котангенсом числа α - відношення (4), і позначаються вони відповідно tg α i ctg α.

Оскільки кожному дійсному числу х можна поставити у відповідність дійсні числа sin х і соs х, то вважатимемо, що на множині R задано функції у = sіп х і у = соs x.

Оскільки у = tg х визначений для всіх x, крім тих, при яких соs х = 0, то кожному дійсному числу х, крім (5), відповідає єдине число tg х, тобто вважатимемо, що задана функція у = tg х, де (6).

Можна вважати, міркуючи аналогічно, що на множині R при (7) задана функція у = ctg х.

Значення тригонометричних функцій для чисел (кутів), які часто використовують під час розв’язування задач систематизовано у таблиці.