Задача про оптимальне спостереження

§ 4. Задача про оптимальне спостереження

В задачах 1 і 2 про спостереження в § 1 фазовий вектор рухомого об'єкта обчислювався за значеннями сигналу (або ). При цьому на розв'язуючі операції не було додаткових вимог, крім основної умови (1.4). В цьому випадку задача може мати багато розв'язків. У цьому параграфі сформулюємо умову оптимальності, яка серед усіх розв'язків виділяє операції , які забезпечують у деякому сенсі найкращу якість спостереження.

В дійсності операція виконується над сигналом з похибкою

, (4.1)

де -- реальний сигнал, -- ідеальний сигнал, -- похибка вимірювання. Останню вважають невідомою, але з фізичних умов можна мати деяку її оцінку. Тоді можна ставити задачу про визначення розв'язуючої операції , яка обчислює координату з найменшою можливою похибкою спостереження при заданій оцінці похибки вимірювання . Процес спостереження можна розглядати як деяку гру. Наведемо деякі поняття теорії ігор.

Теорія ігор, як математична теорія, має своїм предметом дослідження конфліктних ситуацій. Конфліктна ситуація визначається як гра двох осіб, що мають протилежну мету. Якщо гра характеризується деяким числом , умовно названим виграшем І-го гравця (програшем ІІ-го гравця), то мета першого зробити його якомога більшим, а мета другого – зробити значення найменшим. В цьому полягає конфлікт. Свої дії гравці визначають поняттям "стратегія гравця", і можна задавати відповідно класи і різних стратегій і , які вони обирають. Задача першого гравця – вибором максимізувати , задача другого гравця – вибором мінімізувати , тобто розгляд ситуації зводиться до задачі про мінімакс (максимін) . З точки зору другого гравця, при виборі деякої стратегії та при виборі першим гравцем стратегії , для якої

,

відбудеться найгірша ситуація. Другий гравець не може передбачити стратегію першого гравця і не застрахований від максимального програшу. Для послаблення ситуації перший гравець шукає ситуацію, для якої

.

Таким чином, другий гравець вибирає стратегію

.

Стратегія із умови є оптимальною для другого гравця.

Зауважимо, що тут передбачалось, що при кожному виборі стратегії існує максимум , який досягається на стратегії із . Отже, може статися, що такого у наборі немає. Тоді за величину потрібно брати

.

Міркуючи аналогічним чином відносно першого гравця, будемо мати його оптимальну стратегію

,

де . Тоді стратегія буде гарантувати І-шому гравцеві виграш, не менший за величину

.

Зауважимо, що , але обов’язково .

Повернемось до задачі про спостереження за системою

,

де реальний сигнал має вигляд

. (4.2)

Далі будемо вважати, що вектор-функції і є елементами деякого функціонального простору , в якому визначена норма , а оцінка можливої похибки виражається у вигляді нерівності

. (4.3)

Вибір різних видів норм охоплює різні випадки оцінок похибок вимірювання. Наприклад, якщо відомо, що похибка у будь-який момент часу не перевищує за модулем величину , тобто якщо

, (4.4)

то в якості простору треба вибирати множину неперервних функцій з нормою . Тоді нерівність (4.3) буде означати обмеження (4.4).

Будемо шукати таку операцію , – фіксоване, яка при визначенні давала б найменшу похибку у випадку найгіршої реалізації сигналу .

Побудуємо гру, де роль другого гравця відіграє спостерігач. Перший гравець – це система, яку ми спостерігаємо. Роль грає похибка . Стратегія першого гравця – сигнали (4.2) з обмеженнями (4.3), а стратегія другого гравця – всі можливі лінійні операції , визначені у просторі .

Жодна операція не може гарантувати нам похибку, меншу ніж величина

. (4.5)

Найкращою операцією буде , для якої величина досягає мінімуму, тобто

. (4.6)

Якщо відсутня, тобто , і операція розв'язує задачу 1, § 1, то .

Сформулюємо задачу про оптимальне спостереження.

Задача 3. Нехай рухомий об’єкт описується рівнянням та результатом виміру цього руху є реальний сигнал (4.2), де похибка вимірювання обмежена (4.3). Потрібно знайти операцію , яка при кожному фіксованому задовольняє умові

(4.7)

по всім можливим реалізаціям і всім можливим операціям . Операцію будемо називати оптимальною розв’язуючою операцією задачі 3.

Розглянемо властивості операції .

Властивість 1. Операція , яка при кожному забезпечує скінченну верхню межу , обов'язково задовольняє умові

. (4.8)

Це означає, що оптимальна розв'язуюча операція для сигналу (4.2) є одночасно розв'язуючою операцією для задачі 1, § 1. Нехай це не так, і розв'язує задачу при реальному сигналі, але не задовольняє умові (4.8). Тоді для неї можна підібрати вектор такий, що

, .

Тут -- ідеальний сигнал, який відповідає і лінійно залежний від . Тоді сигналу відповідає і . Оскільки довільне число, то похибка може бути скільки завгодно великою. Похибка необмежена, навіть якщо , тоді для похибки (4.3) тим більше буде необмеженою і маємо протиріччя з умовою (4.7). Тепер очевидно, що розв’язок задачі потрібно шукати серед операцій, які задавольняють умові (4.8).

Властивість 2. Верхня межа похибки при обчисленні операцією оцінюється нормою лінійної операції :

. (4.9)

Покажемо, що це так. З означення норми будемо мати співвідношення

при . (4.10)

З (4.8) та лінійності отримаємо:

,

і маємо . З означення норми та обмеження маємо (4.9).

Таким чином, для розв'язання задачі за реальним сигналом потрібно шукати , яка має при кожному фіксованому найменшу норму і забезпечує найменшу похибку спостереження.