Вопросы к экзамену за первый семестр

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ЗА ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР

СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ 1«ТЕХНОЛОГИЯ ТКАНИ, ТРИКОТАЖА И НЕТКАНЫХ МАТЕРИАЛОВ»

СПЕЦИАЛИЗАЦИИ 1«ХУДОЖЕСТВЕННОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ ТЕКСТИЛЬНЫХ ПОЛОТЕН»

1. Определение вектора, как математической модели векторной величины. Виды векторов, их взаимное расположение на плоскости и в пространстве. Сложение и умножение вектора на скаляр. Свойства линейных операций над векторами.

2. Определение линейного или векторного пространства. Примеры пространств.

3. Линейная зависимость и линейная независимость векторов. Свойства линейной зависимости произвольной системы векторов.

4. Свойства линейной зависимости геометрических векторов.

5. Определение базиса и размерности линейного пространства. Ортонормированный базис на плоскости и в пространстве. Координаты вектора.

6. Проекция геометрического вектора на ось, её свойства.

7. Скалярное произведение векторов, его механический смысл. Свойства скалярного произведения, его вычисление в ортонормированном базисе.

8. Ориентация тройки векторов. Векторное произведение векторов, его свойства и вычисление в ортонормированном базисе.

9. Смешанное произведение векторов, его свойства и вычисление в ортонормированном базисе.

10. Декартова система координат на плоскости и в пространстве. Расстояние между двумя точками, деление отрезка в заданном отношении, вычисление объёма пирамиды и площади треугольника.

11. Уравнение прямой, с заданным нормальным вектором и проходящую через точку. Нормальный и направляющий вектор прямой. Общее уравнение прямой на плоскости.

12. Векторно-параметрическое, параметрическое и каноническое уравнение, уравнение прямой проходящей через две точки, уравнение в отрезках.

13. Взаимное расположение прямых на плоскости, расстояние от точки до прямой.

14. Уравнение плоскости с заданным нормальным вектором и проходящей через точку, общее уравнение и его исследование.

15. Уравнение плоскости проходящей через три точки и в отрезках.

16. Взаимное расположение плоскостей в пространстве.

17. Общее уравнение прямой, векторно-параметрическое, параметрическое и каноническое уравнение, уравнение прямой проходящей через две точки.

18. Взаимное расположение прямых; прямой и плоскости в пространстве.

19. Матрицы и их виды. Сложение матриц и умножение на действительное число. Свойства линейных операций. Согласованные матрицы. Умножение матриц и их свойства.

20. Определители второго и третьего порядков. Основные свойства определителя.

21. Понятие определителя n-го порядка. Основные свойства определителя.

22. Минор и алгебраическое дополнение. Теорема о разложении определителя по элементам строки или столбца.

23. Ранг матрицы и методы его вычисления. Совместность систем линейных уравнений Теорема Кронекера-Капелли.

24. Обратная матрица и её свойства. Решение систем линейных уравнений средствами матричного исчисления. Теорема Крамера. Метод Гаусса.

25. Теорема Крамера и метод Гаусса для решения систем линейных уравнений.

26. Исследование решений произвольных систем линейных уравнений. Однородные и неоднородные системы линейных уравнений. Теорема об общем решении однородной системы линейных уравнений. Теорема об общем решении неоднородной системы уравнений.

27. Собственные векторы и собственные значения матрицы линейного оператора.

28. Эллипс: определение, каноническое уравнение, характеристики, график.

29. Гипербола: определение, каноническое уравнение, характеристики, график.

30. Парабола: определение, каноническое уравнение, характеристики, график.

31. Действительные числа и числовая ось. Модуль действительного числа и его свойства.

32. Определение, способы задания и свойства числовой последовательности.

33. Предел числовой последовательности. Свойства сходящихся последовательностей.

34. Бесконечно малая и бесконечно числовая последовательность. Теорема о связи бесконечно малой со сходящейся числовой последовательностью.

35. Правила предельного перехода для числовых последовательностей.

36. Предел монотонной последовательности. Второй замечательный предел.

37. Понятие предела функции в точке (определение по Коши и по Гейне). Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Теорема о связи бесконечно малой функции и функцией, имеющей предел в точке.

38. Правила предельного перехода для функций. Первый и второй замечательный предел.

39. Различные определения непрерывности функции в точке. Классификация точек разрыва.

40. Производная функции, её геометрический и механический смысл. Производная элементарных функций. Основные правила дифференцирования.

41. Производная сложной функции и функции, заданной неявно. Логарифмическое дифференцирование.

42. Производные высшего порядка. Производные первого и второго порядков функций, которые заданны с помощью параметра.

43. Локальный экстремум функции одной переменной. Необходимые и достаточные условия экстремума.

44. Определения монотонных функций. Необходимые и достаточные условия монотонности функции.

45. Глобальный экстремум (наибольшее и наименьшее значение функции).

46. Определения выпуклости и вогнутости графика функции. Определение точек перегиба графика. Достаточное условие выпуклости, вогнутости функции. Необходимые и достаточные условия точек перегиба.

47. Вертикальные и наклонные асимптоты.

48. Схема полного исследования функции.

49. Функции нескольких переменных. Частные производные функций нескольких переменных.

50. Дифференциал функции нескольких переменных. Применение дифференциала в приближенных вычислениях.

51. Экстремум функций двух переменных. Необходимое условие экстремума функций двух переменных. Достаточные условия экстремума.

52. Наибольшее и наименьшее значения функций нескольких переменных в замкнутой области.

53. Комплексные числа в алгебраической форме записи. Операции сложения, умножения, деления комплексных чисел, записанных в алгебраической форме.

54. Тригонометрическая форма записи комплексного числа. Операции над комплексными числами, записанными в этой форме записи.

55. Показательная форма записи комплексного числа. Операции над комплексными числами, записанными в этой форме записи.

55. Многочлены и уравнения. Основная теорема алгебры.