Программа

УТВЕРЖДАЮ

Проректор по учебной работе

14 декабря 2005 г.

П Р О Г Р А М М А

по курсу: ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА

по направлению 511600

факультет ФАКИ, ФФКЭ

кафедра вычислительной математики

курс III

семестр 6

лекции – 32 часа Экзамен – нет

практические (семинарские) Диф. зачет – 6 семестр

занятия – нет

лабораторные

занятия – 32 часа Самостоятельная работа –

2 часа в неделю

ВСЕГО ЧАСОВ 64

Программу составил д. ф.-м..н., проф.

Программа обсуждена на заседании

кафедры вычислительной математики

31 августа 2005 г.

Заведующий кафедрой

IX.  Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ). Жесткие уравнения и системы. А – устойчивые схемы. Функции и области устойчивости наиболее употребительных разностных схем.

X.  ОДУ. Краевые задачи. Численные методы решения: 1) редукции к задаче Коши;

  2) прогонки;

3) стрельбы;

  4) вариационные методы:

а) Ритца:

б) Галеркина;

в) интегро-интерполяционный.

XI.  Задачи на собственные значения. Численные методы решения задачи Штурма–Лиувилля.

XII.  Разностные схемы для уравнений с частными производными. Аппроксимация. Устойчивость. Сходимость. Методы построения аппроксимирующих разностных схем. Спектральный признак устойчивости разностной задачи Коши. Принцип замороженных коэффициентов.

XIII.  Уравнения и системы уравнений с частными производными гиперболического типа. Характеристические свойства уравнений. Численные методы решений уравнений переноса, волнового уравнения и систем уравнений акустики, газодинамики. Корректная постановка начальных и краевых условий.

XIV.  Численные методы решения эллиптических уравнений с частными производными. Метод установления решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона. Конечные ряды Фурье. Условия сходимости. Чебышевский набор параметров. Попеременно-треугольный метод. Метод конечных элементов.

XV.  Многомерные уравнения с частными производными параболического типа. Линейные и квазилинейные уравнения. Явные и неявные разностные схемы, особенности их алгоритмической реализации. Экономичные методы. Метод дробных шагов.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. С. Введение в вычислительную математику. — М.: Наука–Физматлит, 1994. —335 с.

2. , С. Разностные схемы. — М.: Наука, 1977.

3. 12 лекций по вычислительной математике. Вводный курс. — М.: Изд-во МФТИ, 1995. — 175 с.

4. , , Численные

методы. — М.: Наука, 1987.

5. И. Методы вычислительной математики. — М.:Наука, 1980. — 608 с.

6. , Введение в проекционно-

сеточные методы. — М.: Наука, 1981. — 416 с.

7. А. Теория разностных схем. — М.: Наука,

1977. — 656 с.

8. , С. Методы решения сеточных уравнений. — М.: Наука, 1978. — 591 с.

9. Уравнения и системы уравнений с частными производными первого порядка. — М.: МФТИ, 2001. — 116 с.

10. Сборник задач для упражнений по курсу вычислительной математики / Под ред. — М.: МФТИ, 1986.

11. Ваннер Г. Решение обыкновенных дифферен - циальных уравнений. Жесткие и дифференциально-алгебраические задачи. — М.: Мир, 1999. — 685 с.

Номера задач в заданиях указаны по Сборнику задач для упражнений по курсу «Основы вычислительной математики» под редакцией .

ЗАДАНИЕ 1

IX. ОДУ. Жесткие уравнения и системы.

Решите следующие задачи как явными, так и неявными разностными методами.

Задача № 1

Задача № 2

Задача № 3

Задача № 4

X. ОДУ. Краевые задачи — задачи (VII.7), (VII.12), (VII.13).

Задача № 8

Дана дифференциальная задача

При каких с для решения этой задачи применим метод Ритца?

Дана дифференциальная задача

Построить разностную схему с помощью метода Галеркина, используя базисные функции:

1

0

Задача № 10

Построить аппроксимацию второго порядка по двум точкам правого краевого условия , заданного при

х = 1, для уравнения .

Задача № 11

Построить разностную схему с помощью метода Ритца

для задачи

взяв в качестве базисных функций

1

0

XI. Задачи на собственные значения – (VII.9 а, б,).

Задача № 14

Найти все λ, для которых разностная задача

имеет нетривиальные решения.

Задача № 15

Найти все решения задачи на собственные значения

ЗАДАНИЕ 2

XII. Разностные схемы для уравнений с частными производными — задачи (VIII.1 а – з), (VIII.2), (VIII.4).

XIII. Гиперболические уравнения и системы – задачи

(VIII.5a, б).

Задача № 13

Для решения смешанной задачи уравнения переноса в единичном квадрате предложить разностную схему для задачи

Задачи № 14, 15

Для решения смешанной задачи в единичном квадрате предложить разностную схему второго порядка аппроксимации и для коэффициента переноса, равного 1, исследовать на спектральную устойчивость:

14)  15)

Задача № 16

Предложить для решения задачи разностную схему и проверить сходимость:

Задача № 17

Предложить для решения задачи разностную схему и проверить сходимость:

XIV. Эллиптические уравнения – задачи (IX.1a), (IX. 3a, б), (II.9a, б).

XV. Параболические уравнения – задачи (VIII.6), (VIII.7), (VIII.8).

Задание для практического решения на ЭВМ даётся преподавателем и состоит из трёх задач:

1)  по первому заданию одна задача – решение краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения;

2)  по второму заданию две задачи:

а) разностное решение гиперболической задачи, исследование аппроксимации, устойчивости, сходимости;

б) численное решение квазилинейного уравнения теплопроводности.

Сроки сдачи: первого задания – 2-я неделя марта,

второго задания – 2-я неделя мая.

  Усл. п. л. 0,6. Тираж 210 экз.