Программа дисциплины «Динамические системы»

Министерство экономического развития и торговли Российской Федерации

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Государственный университет – Высшая школа экономики

Факультет математики

Программа дисциплины

«Динамические системы»

Направление:	010100.68 «Математика»
Подготовка:	магистр
Форма обучения:	очная

Автор программы: к. ф.-м. н. доц.

Рекомендовано
секцией УМС по математике
Председатель
_____________________________________
«___» ________________________2009 г.
Утверждена УС		Одобрена на заседании
факультета математики		кафедры геометрии и топологии
Ученый секретарь доцент		Зав. кафедрой, академик
_________________________		_______________________
«___» ________________________2008 г.		«___» ______________________2008 г.

Москва

2008

Рабочая программа дисциплины «Динамические системы» [Текст]/Сост. ; ГУ-ВШЭ.–Москва.–2008.–6 с.

Рабочая программа составлена на основе государственных требований к минимуму содержания и уровню подготовки магистров Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по направлению 010100 «Математика».

Рабочая программа предназначена для методического обеспечения дисциплины основной образовательной программы по направлению 010100 «Математика».

Составитель: к. ф.-м. н. доц. (*****@***ru)

©	, 2008.
©	Государственный университет–Высшая школа экономики, 2008.

Тематический план учебной дисциплины

№	Название темы	Всего часов	Аудиторные часы	Самостоя-тельная работа
Лекции	Семинарские занятия
1	Динамические системы с дискретным временем.	28	4	4	20
2	Динамические системы с непрерывным временем.	24	3	3	18
3	Динамические системы с комплексным временем.	28	4	4	20
4	Системы с регулярными особыми точками на сфере Римана.	28	4	4	20
Итого	108	15	15	78

Базовые учебники

1.	, Б. Хасселблат. Введение в теорию динамических систем с обзором последних достижений. Перевод с английского под редакцией . – М.: МЦНМО, 2005
2.	А. А. Болибрух. Фуксовы дифференциальные уравнения и голоморфные расслоения. – М.: МЦНМО, 2000
3.	Милнор Дж. Голоморфная динамика. Вводные лекции.–Пер. с англ.–Ижевск: РХД, 2000.

Формы контроля

Текущий контроль – решение задач на семинарских занятиях.

Промежуточный контроль: 1 контрольная работа.

Итоговый контроль: письменный экзамен (2 модуль), 3 часа.

Итоговая оценка

Формы работы	Вклад в итоговую оценку (%)
Домашние задания	20
Контрольная работа	20
Зачет	30
Экзамен	30

Содержание программы

Тема 1. Динамические системы с дискретным временем.

Примеры: перекладывание отрезков, теорема Оселедеца-Кина. Периодические точки отображений: порядок Шарковского, классификация периодических точек диффеоморфизмов окружности. Локальная динамика ростков z -> z+zp+... Модули Экалля-Воронина. Топологическая и аналитическая классификации.

1. , Б. Хасселблат. Введение в теорию динамических систем с обзором последних достижений. Перевод с английского под редакцией . – М.: МЦНМО, 2005

1. Аносов по курсу "Динамические системы".–М.: НМУ, 1995.

Тема 2. Динамические системы с непрерывным временем

Теорема Пуанкаре о возвращении. Гомоклинические траектории и подкова Смейла. Устойчивость динамической системы и показатели Ляпунова. Коцикл Концевича-Зорича. Понятие о КАМ-теории.

1.  , Б. Хасселблат. Введение в теорию динамических систем с обзором последних достижений. Перевод с английского под редакцией . – М.: МЦНМО, 2005

1.  Гукенхеймер Дж., Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей. – Ижевск: РХД, 2008.

Тема 3. Динамические системы с комплексным временем

Фуксовы дифференциальные уравнения. Структура пространства решений системы линейных дифференциальных уравнений в окрестности регулярной и фуксовой особой точки. Основы теории голоморфных слоений.

Основная литература

А. А. Болибрух. Фуксовы дифференциальные уравнения и голоморфные расслоения. – М.: МЦНМО, 2000 Милнор Дж. Голоморфная динамика. Вводные лекции.–Пер. с англ.–Ижевск: РХД, 2000.

Дополнительная литература

1. Аносов по курсу "Динамические системы".–М.: НМУ, 1995.

Тема 4. Системы с регулярными особыми точками на сфере Римана.

Соотношение Фукса. Восстановление системы уравнений по монодромии. Проблема Римана-Гильберта.

Основная литература

1.  А. А. Болибрух. Фуксовы дифференциальные уравнения и голоморфные расслоения. – М.: МЦНМО, 2000

Дополнительная литература

1. Аносов по курсу "Динамические системы".–М.: НМУ, 1995.

2. Гукенхеймер Дж., Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей. – Ижевск: РХД, 2008.

Тематика заданий по различным формам контроля

Вариант контрольной работы

Обозначим P вероятностную меру на множестве слов из n символов 0 и 1, при которой вероятность одноточечного множества равна 1/2n. Пусть Wk(n) – множество, слов, содержащих ровно k единиц. Пусть a > 0 фиксировано, а |k/n – ½| < a. Докажите, что найдется число t < 1 такое, что при всех достаточно больших n имеем P(Wk(n)) < tn. Докажите, что у каждого неминимального перекладывания отрезков существует инвариантное множество, являющееся объединением конечного числа интервалов. Докажите, что при отображении подковы Смейла множество периодических точек с заданным периодом p дискретно. Приведите пример двумерного слоения на четырехмерном торе с ненулевым классом Годбийона-Вея.

Вариант письменного экзамена

Пусть перекладывание отрезков таково, что при его итерациях точки разрыва никогда не переходят в точки разрыва. Докажите, что перекладывание минимально и не имеет периодических точек. На трехмерной сфере задано векторное поле. Докажите, что плоскости, ортогональные к этому слоению относительно стандартной римановой метрики, образуют неинтегрируемое распределение. На CP2 рассмотрим стандартную симплектическую структуру и гамильтонову систему с гамильтонианом H(u:v:w) = v/u. На каких уровнях гамильтониана система имеет периодические траектории? Пусть фуксово дифференциальное уравнение второго порядка имеет только однозначные решения. Предположим, что особыми точками уравнения являются z1, z2 и бесконечность, с экспонентами (a, b), (c+1,c) и (a, b) соответственно. Докажите, что такое уравнение единственно.

Автор программы

доцент