Контрольная работа №1
«РЯДЫ И ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ»
Вариант №4.
1. Исследовать на сходимость числовой ряд
.
Решение. Проверим признак Лейбница:
1) так как 
;
2) 
ряд сходящийся.
Исследуем на сходимость ряд модулей исходного ряда 
. Сравним ряд модулей со сходящимся рядом Дирихле
, 
используя предельный признак сравнения.
Следовательно, ряд 
сходится.
Таким образом, исходный ряд сходится абсолютно.
2. Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда
.
Решение. Радиус сходимости данного степенного ряда равен:
интервал сходимости.
3. Разложить в окрестности точки 
в степенной ряд функцию
.
Решение. 
Имеем бином вида 
где a .
Воспользуемся биномиальным рядом
.
Получаем:
.
Полученный ряд сходится, если 
.
4. Вычислить интеграл 
, где D – прямоугольник 
.
Решение. 
5. Вычислить интеграл 
, где D – область, ограниченная линиями 
.
Решение. Изобразим область D:
Замечание. Как видно из рисунка, задача неоднозначна, так как областью D может быть, не только та часть круга, которую мы выделили цветом, но и область дополнительная к этой части до целого круга.
Находим:
.
Контрольная работа №2
«Дифференциальные уравнения»
Вариант 4.
1. Решить задачу Коши для уравнения
, 
.
Решение: Разделим переменные в этом дифференциальном уравнении:
Заметим, что данное начальное условие невозможно использовать, т. к. деление на ноль не определено. Исправим его следующим образом: 
.
Используя начальное условие , получаем:
Окончательно, решением данного уравнения является
2. Найти общее решение дифференциального уравнения
.
Решение: 
Применяя подстановку 
, получаем:
Находим 
из уравнения 
Функцию 
определяем из уравнения 
Следовательно, общее решение исходного уравнения имеет вид
3. Решить задачу Коши для уравнения
, 
.
Решение: Составим характеристическое уравнение данного однородного дифференциального уравнения:
Тогда общее решение уравнения имеет вид:
Используем начальные условия 
для определения произвольных постоянных 
и 
.
Отсюда получаем следующую систему:
Таким образом, решение задачи Коши имеет вид:
4. Найти общее решение дифференциального уравнения
.
Решение: Составим характеристическое уравнение соответствующего однородного дифференциального уравнения 
Тогда общее решение однородного уравнения имеет вид
Теперь находим частное решение 
исходного неоднородного уравнения. Так как правая часть 
а 0 – не корень характеристического уравнения, то
.
Подставим 
в исходное уравнение:
Отсюда получаем следующую систему:
Таким образом,
.
Общее решение исходного уравнения имеет вид:
Контрольная работа №3
“Линейная алгебра и аналитическая геометрия”
Вариант 4.
1. Найдя сначала обратную матрицу системы уравнений
решить затем эту систему методом обратной матрицы.
Решение: Вычислим определитель данной матрицы:
Найдем обратную матрицу 
:
Тогда обратная матрица имеет следующий вид:
.
.
Ответ: 
.
2. Используя формулы Крамера, решить систему уравнений
указав в ответе отдельно величину определителя 
этой системы.
Решение: Вычислим определитель матрицы системы:
Тогда по формулам Крамера получаем:
Ответ: 
3. Решить методом Гаусса систему уравнений
Решение. Составим расширенную матрицу систему:
.
Ответ: 
4. Найти уравнение касательной к гиперболе
в точке 
.
Решение: Точка лежит на гиперболе , так как
.
Уравнение касательной к кривой 
проходящей через данную точку 
имеет вид:
.
Значит справедливо:
Выразим из уравнения гиперболы выражения для у:
Так как точка находится во второй четверти, получаем, что в этой четверти 
Отсюда получаем искомое уравнение касательной:
Ответ: 
.
5. Выяснить, будет ли прямая 
параллельна плоскости 
, а прямая 
лежать в этой плоскости?
Решение. Пусть заданы прямая
и плоскость
.
Если 
и 
, то данная прямая параллельна данной плоскости.
Проверяем:
и
Итак, делаем вывод, что прямая параллельна плоскости 
.
Если и 
, то данная прямая параллельна данной плоскости.
Проверяем:
и
Следовательно, прямая лежит в плоскости .
