Формулы сокращенного умножения.
При расчёте алгебраических многочленов для упрощения вычислений используются формулы сокращенного умножения. Всего таких формул семь. Их все необходимо знать наизусть.
Следует также помнить, что вместо a и b в формулах могут стоять как числа, так и любые другие алгебраические многочлены.
Разность квадратов
Разность квадратов двух чисел равна произведению разности этих чисел и их суммы.
a2 - b2 = (a - b)(a + b)
Примеры:
- 152 - 22 = + 2) = 13 x 17 = 221 9a2 - 4b2с2 = (3a - 2bc)(3a + 2bc)
Квадрат суммы
Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа плюс квадрат второго числа.
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Обратите внимание, что с помощью этой формулы сокращённого умножения легко находить квадраты больших чисел, не используя калькулятор или умножение в столбик. Поясним на примере:
Найти 1122.
- Разложим 112 на сумму чисел, чьи квадраты мы хорошо помним.2
112 = 100 + 1
- Запишем сумму чисел в скобки и поставим над скобками квадрат.
1122 = (100 + 12)2
- Воспользуемся формулой квадрата суммы:
1122 = (100 + 12)2 = 1002 + 2 x 100 x 12 + 122 =+ 2 400 + 144 =
Помните, что формула квадрат суммы также справедлива для любых алгебраических многочленов.
- (8a + с)2 = 64a2 + 16ac + c2
Предостережение!
· (a + b)2 не равно a2 + b2
Квадрат разности
Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго числа.
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
Также стоит запомнить весьма полезное преобразование:
(a - b)2 = (b - a)2
Формула выше доказывается простым раскрытием скобок:
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2 = b2 - 2ab + a2 = (b - a)2
Куб суммы
Куб суммы двух чисел равен кубу первого числа плюс утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого на квадрат второго плюс куб второго.
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Запомнить эту "страшную" на вид формулу довольно просто.
- Выучите, что в начале идёт a3. Два многочлена посередине имеют коэффициенты 3. Вспомним, что любое число в нулевой степени есть 1. (a0 = 1, b0 = 1). Легко заметить, что в формуле идёт понижение степени a и увеличение степени b. В этом можно убедиться:
(a + b)3 = a3b0 + 3a2b1 + 3a1b2 + b3a0 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Предостережение!
· (a + b)3 не равно a3 + b3
Куб разности
Куб разности двух чисел равен кубу первого числа минус утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго минус куб второго.
(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
Запоминается эта формула как и предыдущая, но только с учётом чередования знаков "+" и "-". Перед первым членом a3 стоит "+" (по правилам математики мы его не пишем). Значит, перед следующим членом будет стоять "-", затем опять "+" и т. д.
(a - b)3 = + a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
Сумма кубов
Не путать с кубом суммы!
Сумма кубов равна произведению суммы двух чисел на неполный квадрат разности.
a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2)
Сумма кубов - это произведение двух скобок.
- Первая скобка - сумма двух чисел. Вторая скобка - неполный квадрат разности чисел. Неполным квадратом разности называют выражение:
a2- ab + b2
Данный квадрат неполный, так как посередине вместо удвоенного произведения обычное произведение чисел.
Разность кубов
Не путать с кубом разности!
Разность кубов равна произведению разности двух чисел на неполный квадрат суммы.
a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2)
Будьте внимательны при записи знаков.
Применение формул сокращенного умножения
Следует помнить, что все формулы, приведённые выше, используется также и справа налево.
Многие примеры в учебниках рассчитаны на то, что вы с помощью формул соберёте многочлен обратно.
Примеры:
- a2 + 2a + 1 = (a + 1)2 (aс - 4b)(ac + 4b) = a2c2 - 16b2
