ЗАНЯТИЕ №10

ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА

Обсудим решение неравенства √f(x)< q(x).

Во-первых, запишем условие, определяющее ОДЗ: f(x)≥0.

Во-вторых, замечаем, что при q(x)≤0, неравенство не имеет решений.

Значит, можно сразу потребовать выполнения условия f(x)>0.

В-третьих, замечаем, что при указанных условиях f(x)≥0 и q(x)>0 обе части неравенства неотрицательны, значит, их можно возвести в квадрат, получим неравенство f(x)<(q(x))2, равносильное данному.

Таким образом, иррациональное неравенство равносильно системе неравенств: f(x)≥0

q(x)>0

f(x)<(q(x))2

Обсудим решение неравенства вида √f(x)>q(x)

Во-первых, запишем условие, определяющее ОДЗ: f(x)≥0.

Во-вторых, замечаем, что при q(x)<0 справедливость неравенства не вызывает

сомнений. Это значит, что решения системы неравенств f(x)≥0 и

q(x)<0 являются одновременно и решениями данного неравенства.

В-третьих, замечаем, что, если q(x)≥0, то обе части неравенства неотрицательны. Значит, возведя их в квадрат, получим неравенство f(x)>(q(x))2, равносильное данному.

Таким образом, иррациональное неравенство равносильно совокупности систем неравенств:

f(x)≥0 f(x)≥0

q(x)<0 q(x)≥0

f(x)>(q(x))2

Первое неравенство второй системы можно опустить (подумайте, почему).

Пример 1. Решите неравенства: а)√x2-x-12<x

Данное неравенство равносильно системе неравенств: x2-x-12≥0

x>0

x2-x-12<x2

Для решения квадратного неравенства x2-x-12≥0 найдём корни квадратного трёхчлена, получим х1=4, х2=-3. Геометрическая модель, представленная на рисунке,

Помогает найти решение неравенства: х≤-3; х≥4.

Второе неравенство системы уже решено: x>0. Из третьего неравенства находим: x>-12.

Геометрическая модель, представленная на рисунке

Помогает найти решение системы неравенств: х≥4.

Пример 2. Решить неравенство: √x2-x-12>x

Данное неравенство равносильно совокупности систем неравенств:

 

x2-x-12≥0 x2-x-12≥0

x<0 x≥0

x2-x-12>x2

Геометрическая модель, представленная на рисунке

Помогает найти решение первой системы: х≤-3.

Во второй системе можно опустить первое неравенство, поскольку оно является следствием третьего неравенства системы. Это позволяет переписать вторую систему в более простом виде:

x≥0

x<-12

Эта система не имеет решений. Значит, решение совокупности систем неравенств совпадает с решением первой системы и имеет вид: х≤-3.