Задача 1

Задача 1.

Партия приборов, среди которых 10% дефектных (нестандартных), поступила на проверку в ОТК. Схема проверки такова, что с вероятностью Р1 = 0,91 обнаруживается дефект (если он есть) и существует ненулевая вероятность Р0 = 0,01 того, что стандартный прибор будет признан дефектным.

а) Какова вероятность того, что случайно выбранный из партии прибор будет признан дефектным?

б) Случайно выбранный из партии прибор признан дефектным. Какова вероятность того, что на самом деле прибор стандартен?

Решение.

1. Рассмотрим событие А = {случайно выбранный из партии прибор будет признан дефектным}. С событием А тесно связаны две гипотезы (события) В 1 и В 2: В1 = {поступивший на проверку прибор дефектен на самом деле},

В2 = {поступивший на проверку прибор на самом деле стандартен}.

Безусловные априорные вероятности легко вычисляются по классической формуле: Р (В1) = [отношение числа дефектных приборов к общему числу приборов] = 0,1, Р (В2) = 1 – Р (В1) = 0,9.

Условные вероятности заданы в условии задачи:

.

Применяя формулу полной вероятности, получим:

.

2.  По формуле Байеса:

.

Ответ:

Задана функция распределения случайной величины Х:

Требуется:

а) найти f (х) плотность распределения случайной величины Х;

б) найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины;

в) построить графики функций F (х), f (х).

а) Имеем:

б) Строим графики:

в) Имеем:

поэтому D(Х) = М(Х2 )– (М(Х))2 = 0,6– (0,75) 2 = 0,0375.

Ответ: М(Х) = 0,75; D(Х) = 0,0375.

Произведено 100 выборочных измерений уровня загрязнённости некоторого района вредными для здоровья выбросами некоторого комбината. Построить гистограмму частот уровня загрязнённости по данному распределению выборки:

Интервалы загрязнения	Сумма частот вариант интервала
2-5	15
5-8	15
8-11	50
11-14	8
14-17	12

Найдем длину любого из интервалов h =3.

Плотность частот:

На оси абсцисс откладываем все частичные интервалы, а на этих интервалах достраиваем прямоугольники высотой, равной соответствующей плотности частоты:

Найти выборочную и исправленную дисперсии по данному распределению выборки:

хi	0,1	0,5	0,7	0,9
ni	6	12	1	1

1) Имеем: объём выборки n = 20, выборочная средняя

2) По определению выборочная дисперсия:

Найдем исправленную дисперсию: .

Ответ:

Задача 5. Найти коэффициент корреляции, если задан закон распределения двумерной случайной величины.

Y / Х	1	2
0	0,15	0,15
1	0,25	0,15
2	0,1	0,2

Решение.

Находим законы распределения составляющих X и Y:

Находим математические ожидания составляющих X и Y:

.

Находим дисперсии составляющих X и Y:

Поэтому .

Далее найдём математическое ожидание произведения случайных величин X и Y:

.

.

Теперь находим ковариацию и коэффициент корреляции:

Ответ: Коэффициент корреляции положителен , то есть случайные величины X и Y связаны положительной корреляцией, не близкой к нулю, что не говорит о слабой зависимости случайных величин.