Упражнение 1. Пусть порядок конечной группы равен pq, где p и q — простые числа, причем p < q. Доказать, что если q – 1 не делится на p, то группа циклическая

Упражнение 1. Пусть порядок конечной группы равен pq, где p и q — простые числа, причем p < q. Доказать, что если q – 1 не делится на p, то группа циклическая.

Из теоремы Лагранжа следует, что если p — простое число, то любая группа порядка p циклическая и единственна с точностью до изоморфизма.

На лекции в пятницу мы выяснили, что согласно третьей теореме Силова, число подгрупп порядка q равно такому числу 1 + kq, что оно делит p; соответственно, оно равно 1. Мы знаем теперь, что эта подгруппа является нормальной, и aq = 1.

Число подгрупп порядка p равно такому числу 1 + mp, которое делит q, следовательно, оно равно или 1, или q.[1]

Применим наше условие: из него мы знаем, что

Следовательно, 1 + mp = 1.

Тогда мы получаем инвариантную группу .

Упражнение 2. Доказать, что всякая группа порядка 50 имеет собственную нормальную подгруппу.

Подгруппа индекса 2 — нормальная подгруппа.

В группе порядка 50 обязательно существует силовская p-подгруппа порядка . Ее индекс равен 2. Следовательно, это нормальная подгруппа.

Заметим, что мы можем утверждать даже больше: любая группа порядка , причем и , имеет собственную нормальную подгруппу.

При подготовке домашней работы была использована книга «Теория групп» Маршалла Холла младшего (М. : Издательство иностранной литературы, 1962).

[1] А если оно равно kpq, где ?