Лекция 8 3.04.09

Лекция 8 3.04.09

Собственные функции физической величины нормированы.

К физической величине можно сопоставить некий математический оператор.

Означает что оператор действует на пси функцию. Вводится через среднее значение физическое величины. Т. е описываемой волновой функцией

Покажем что каждой физической величине можно сопоставить линейный оператор. Сравним уравнение 1 и 2. Сn сравнима пси. Сn пропорционально пси. Сn* Cn есть билинейная функция по пси по этому уравнение 1 и 2 правые части можно прировнять поэтому можно приравнять и левые.

Знаки интегрирования и суммирования можно поменять местами.

Сравним получившиеся выражение с единичкой(с левой частью уравнения 6)

Подставим выражение в (5)

Сравним получившиеся выражение с (4)

если в качестве пси мы возьмём одну из собственный волновых функций

то тогда все собственные коэффициенты кроме одного будут равны нулю, а оставшееся единицы

означает что оператор f^ является линейным оператором. Значит что можно сопоставить физической величине линейной оператор f^ который определяется из среднего значение физической величине.

Собственные значения и собственные функции линейных операторов.

из уравнения (7)

следует что оператор соответствующей данной величине действует на одну собственную волновую функцию данной физической величины то все коэффициенты Cn за исключением одного равны нулю и тогда это выражение получается - Действие оператора f на собственную функцию данной физической величины сводится к умножению собственного значения на собственную функцию.

Поскольку любую пси функцию можно разложить по собственным функциям

уравнение на собственную функцию и на собственное значение. решая это уравнение мы найдем собственные функции оператора f^ и решение.

в квантовой механике доказывается что собственные функции и собственные значение оператора f являются собственными функциями и собственными значения данной физической величины. Покажем это. Т. е покажем что если существует состояние такое что если система находится в этом состоянии то при измерении физической величины f, соответствующей оператору f получается всегда одно и тоже значение физической величины равная f.

Предположим что значение физической величины удовлетворят 8. То среднее равно

Это возможно если при каждом измерении получается f

Таким образом уравнение (8) является уравнением на собственные функции на собственные значение данной физической величины.

Конкретный вид оператора соответствующий данной физической величине определяется из физических соображений и тогда решая это уравнение мы находим собственные функции и собственные значение данной физ. величины

Условие возможного одновременно измерения различных физических величин

Операторы каждому из которых соответственно ставится f и g и каждый имеет свой спектр собственных значений.

Существую ли состоянии описываемые пси функции находясь в котором оба оператора имею значения f и g. Т. е существую ли состояния в котором обе физические величины одновременно измеримы.

является собственной функцией оператора f и оператора g. Тогда уравнение на собственным функции и на собственные значения

на первое уравнение подействуем оператором g

правые части одинакомы но нельзя сказать поскольку действие операторов было на одну из функций .Если собственные функции оператора f являются собственные функции оператора g

если две физические величины одновременно измеримы(обладают своим набором собственных функций) то коммутатор = 0. Можно доказать наоборот - если коммутатор равен 0 то две физические величины одновременно измеримы

Т. е коммутатор = 0 - ЯВЛЯЕТСЯ НЕОБХОДИМЫМ и Достаточным условием чтобы две физические величины были одновременно измеримы.

Основные операторы квантовой механики

Оператор координаты есть сама координата. Уравнение на собственные функции и собственные значение оператора координаты.

Это уравнение Т. е Собственный спектр значений координаты

Оператор проекции импульса.

Покажем что это так. Покажем, что вид этого оператора удовлетворяет уравнению на собственные функции и собственные значения.

Рассмотрим частицу движущиеся по оси x. Ей соответствует Де Бройля

Аналогично

Оператор полного импульса

Покажем что x и Px не могут быть одновременно измеримы. Вычислим коммутатор.

Момент импульса

Могут ли одновременно измеримы все 3 или хотя бы 2 проекции моменты импульса. Для этого определим коммутаторы.

Коммутаторы не равны 0. Т. е нельзя определить две проекции момента импульса. Т. е не существует состояния, в котором одновременно две проекции момента импульса принимала бы определённые значения. Т. е не существует состояния, в котором момент импульса определён по величине и по направлению. Т. е оператор момента импульса не имеет собственных значений и собственных функций. Возникает вопрос существуют ли состояния в котором хотя бы одна проекция момента импульса принимала бы определённое значение. Если одна проекция принимает определённое значение, то и все другие принимаю определённые значения. Не могут принимать сразу две моменты импульса принимать определённые значения.

Определим удовлетворяют ли уравнения на собственные функции и на собственные значение один из операторов. Выбираем Lz. Обычно направляют вдоль магнитного поля.