5 класс

5 класс

1.	Найти наименьшее трёхзначное число, которое делится нацело и на семь и на восемь. Ответ: 112. Решение. Вообще наименьшее число, которое делится и на 7 и на 8, есть 56. Но оно только двухзначное. Если мы его увеличим в 2 раза, то получим 112. Очевидно, что оно наименьшее трёхзначное. Примечание. С этим заданием справились примерно 48% участников. Это лучший результат по 5 классу.
2.	На листе бумаги нарисован правильный треугольник со стороной 21 см. Каждая его сторона разбита 20-ю точками на отрезки длины 1 см. Через эти точки параллельно сторонам треугольника проведены прямые, они разбивают треугольник на правильные маленькие треугольнички со стороной в 1 см. Сколько маленьких треугольничков при этом получится? На рисунке приведён пример такой конструкции со стороной 5 см. Ответ: 441. Решение. Способ 1. Если присмотреться к рисунку, то видно, что в верхнем ряду находится 1 треугольник, в первых двух рядах – (1+3=4=22) треугольников, в первых трёх рядах – (1+3+5=4+5=9=32) треугольников, в первых четырёх рядах – 16=42 треугольников и т. д. Значит, в первых 21 ряду, а значит, и всего, будет 212=441 треугольник. Способ 2. В каждом ряду сверху вниз, начиная со второго ряда, на 2 треугольника больше, чем в предыдущем. Так, во втором ряду 3=2∙2-1 треугольник, в третьем ряду 5=2∙3-1, в четвёртом ряду 7=2∙4-1. Значит, в 21 ряду будет 2∙21-1= 41 треугольник. Теперь нам нужно найти сумму всех нечётных натуральных чисел от 1 до 41. Имеем 1+3+5+…+35+37+39+41=(1+39)+(3+37)+(5+35)+…+(19+21)+41=40∙10+41=441. Способ 3 (предложен нашим кружковцем, учеником 5 класса гимназии им. М. Горького г. Хасавюрта Сагитовым Сагитавом). Покрасим треугольники остриём вверх в синий цвет, а остриём вниз – в красный. Тогда в каждом следующем сверху вниз ряду будет одним синим треугольником больше, чем в предыдущем. Всего синих треугольников будет 1+2+3+…+19+20+21=(1+20)+(2+19)+…+(10+11)+21=10∙21+21=210+21=231. Аналогично, красных треугольников в каждом ряду будет на один больше, чем в предыдущем. Но в каждом ряду красных треугольников на один меньше, чем синих. Значит, всего красных треугольников на 21 (по числу рядов) меньше, чем синих, то есть 210. Тогда всего треугольников будет 231+210=441. Примечание. С заданием справились примерно около 25% участников.
3.	Сколько раз за сутки встречаются (совпадают) часовая и минутная стрелки часов (от 00:00 включительно до 24:00 включительно)? Ответ: 23. Решение. Если первое совпадение стрелок происходит в 00:00, то второе – через 12/11 часа. Это означает, что между двумя соседними совпадениями проходит больше часа. Это значит, что после 00:00 до 12:00, когда стрелки в очередной раз совпадут, произойдет не более (на самом деле – ровно) 11 совпадений, включая совпадение в 12:00. Соответственно, столько же (то есть, 11) совпадений будет после 12:00 до 24:00, считая совпадение в 24:00. Итого, часовая и минутная стрелки встречаются 1+2∙11=23 раза. Примечание. С заданием справились меньше 5% участников.
4.	Из города А в город Б ведут 3 дороги, из города Б в город В - 2 дороги, а из города А в город В - 4 дороги. Сколько различных вариантов путей, которыми можно проехать из города А в город В? Ответ: 10. Решение. Здесь ответ можно было получить, просто пересчитав все варианты. Например, так: 1) А-Б1-В1, 2) А-Б1-В2, 3) А-Б2-В1, 4) А-Б2-В2, 5) А-Б3-В1, 6) А-Б3-В2. Плюс четыре прямые дороги из А в В. Итого, 10. Другая форма подсчёта: 3∙2+4=10. Примечание. С заданием справились 20% участников.
5.	Найти все двузначные числа, которые ровно в восемь раз больше суммы своих цифр? Ответ: 72. Решение. Число это единственное. Если искомое двузначное число составлено из цифр a и b, то имеем: 10a+b=8(a+b) или 2a=7b. Так как a и b – цифры, то a=7, b=2. Примечание. С заданием справились примерно 25% участников.
6.	Петя пошел в школу 1 сентября 2012 г., закончит её он 31 мая 2023 г. Сколько дней (включая каникулы, выходные, праздники, учитывая високосные годы) Петя проведёт в школе (т. е., сколько дней пройдёт от 1 сентября 2012 г. до 31 мая 2023 г., включая первый и последний)? Ответ: 3925 дней. Решение. От 1 сентября 2012 г. до 31 августа 2023 года пройдет ровно 11 лет. Имеем: 365∙11+2=4017 дней с учётом того, что 2016 и 2020 годы – високосные. Из этого результата надо отнять 92 дня лета 2023 года. Получим: 4017–92=3925. Примечание. С заданием справились около 8% участников.
7.	Сколько различных чисел можно получить, переставляя цифры числа 12123? Ответ: 30. Решение. Если все цифры пятизначного числа были бы различными (например, 12345), то можно было составить 120 чисел. Действительно, на первую позицию можно поставить любую из 5 цифр. Для каждого из этих 5 вариантов существует 4 варианта на вторую позицию (то есть, уже 20 вариантов). На третью позицию для каждого из этих 20 вариантов существует по 3 варианта оставшихся цифр, на четвёртую позицию – по 2 варианта, на пятую позицию – 1 вариант. Итого, 5∙4∙3∙2∙1=120 чисел. Если теперь в числе две цифры одинаковые, то количество различных чисел уменьшается ровно в два раза, так как числа, получающиеся перестановкой двух одинаковых цифр, ничем не отличаются. Так как в нашем случае две пары цифр одинаковые, то количество различных чисел уменьшается в 4 раза. Таким образом, 120:4=30. Примечание. С заданием справились примерно 2,5% участников.

6 класс

1.

Все трёхзначные натуральные числа от 100 до 999 выписаны в ряд без промежутков. Сколько раз в записи этого числа встречается цифра 7? Ответ: 280. Решение. Всего трёхзначных чисел 900 или 9 сотен. Цифра 7 в каждой сотне в разряде единиц встречается 10 раз, столько же раз она встречается в разряде десятков. Это будет 2∙10∙9=180. Кроме того, эта цифра 100 раз встречается в разряде сотен. Итого, 180+100=280. Примечание. Несмотря на простоту решения, задача вызвала у детей большие трудности. Она оказалась самой трудной в 6 классе и с ней справились меньше 2,5% участников.

2.

Вася сказал: «Послезавтра мне будет 11 лет, а в прошлом году исполнилось 8». Когда у Васи день рождения? Решения нет. К сожалению, при редактировании текста была допущена опечатка. В связи с этим в предложенном варианте задача не решается. Поэтому жюри решила аннулировать все результаты по этой задаче.

3.	Вычислить . Ответ: 1. Решение. Так как 244∙395–151=(243+1) ∙395–151= =243∙395+395–151=243∙395+244, то значение дроби равно 1. Примечание. Эта задача решена подавляющим большинством учащихся, но вряд ли кто её решал таким рациональным способом! С заданием справились примерно около 75% участников.
4.	Чему равна площадь треугольника, изображённого на рисунке (размер одной клеточки – 1 см)? Ответ: 12 см2. Решение. Площадь треугольника можно найти как разность между площадью прямоугольника (6∙5=30) и суммой площадей трёх прямоугольных треугольников. Площадь каждого такого треугольника равна половине площади прямоугольника с такими же сторонами. То есть, (5∙2:2=5; 6∙3:2=9; 4∙2:2=4). Тогда искомая площадь равна 30–(5+9+4)=12 (см2). Примечание. С этим заданием справились 33% участников.
5.	Вычислить сумму 1 + (1+2) + (1+2+3) + (1+2+3+4) + (1+2+3+4+5) + (1+2+3+4+5+6) + (1+2+3+4+5+6+7) + (1+2+3+4+5+6+7+8) + (1+2+3+4+5+6+7+8+9) + (1+2+3+4+5+6+7+8+9+10) . Ответ: 220. Способов вычисления этой суммы много. Например, можно было бы поступить следующим образом: 1∙10+2∙9+3∙8+4∙7+5∙6+6∙5+7∙4+8∙3+9∙2+10∙1= =2∙(1∙10+2∙9+3∙8+4∙7+5∙6)=2∙(10+18+24+28+30)=2∙110=220. Примечание. С заданием справились примерно около 69% участников.
6.	Произведение двух натуральных чисел, каждое из которых не делится на 10, равно 1000. Чему равна их сумма? Ответ: 133. Решение. Заметим, что 1000=2∙2∙2∙5∙5∙5=a∙b. Если в разложении хотя бы одного из чисел a и b есть и 2 и 5, то оно будет делиться на 10. Значит, одно из данных чисел равно 2∙2∙2=8, а другое – 5∙5∙5=125. Сумма этих чисел равна 133. Примечание. Некоторые дети, найдя эти числа (8 и 133), не находили их сумму. Такие ответы не засчитывались. С заданием справились около 45% участников.
7.	Сколько существует трёхзначных чисел, в записи которых есть хотя бы одна чётная цифра? Ответ: 775. Решение. Найдем сначала, в записи скольких чисел нет ни одной чётной цифры, или количество трёхзначных чисел, запись которых состоят только из нечётных цифр. Имеется всего 5 нечётных цифр. В разряде сотен может находиться любая из них. Это 5 вариантов. На каждый из этих вариантов на место в разряде десятков претендует также любая из 5 цифр. Это уже 5∙5=25 вариантов. Наконец, место в разряде единиц готова занять любая из 5 нечётных цифр. Итак, всего 125 чисел, в записи которых участвуют только нечётные цифры. Но так как всего 900 трёхзначных чисел, то в записи всех остальных 775=900–125 чисел присутствует хотя бы одна чётная цифра. Примечание. Эта задача наряду с первой также оказалась одной из самых трудных и она таковой является. С заданием справились примерно 4% участников.

7 класс

1.	Найти наименьшее целое число, квадрат которого начинается на две единицы. Ответ: нет такого числа. Решение. Любое число вида -34∙100…0 является требуемым, а среди них нет наименьшего. Примечание. В авторском условии предполагалось найти наименьшее натуральное число (это 34). Поскольку опечатка произошла по вине организаторов, то были засчитаны как правильные все ответы: а) нет (у одного!!! ученика), б) 34, в) -34 и г) 1156=342. С заданием справились 53% участников.
2.	На схеме изображён план городка. На всех улицах введено одностороннее движение – ехать можно только «вправо» или «вверх». Сколько есть разных маршрутов из точки А в точку В? Ответ: 35. Решение. Задачу будем решать с конца. Рассмотрим правый верхний прямоугольник. Если мы оказались в вершине В, то нам осталось 0 разных маршрутов. Если мы находимся в правой нижней вершине или в левой нижней вершине этого прямоугольника, то мы можем пройти в В по единственному маршруту. Если мы оказались в левой нижней вершине этого прямоугольника, то мы можем попасть в В двумя различными маршрутами. Отметим эти числа в этих вершинах. Рассмотрим предпоследний прямоугольник в верхнем ряду. В двух вершинах его уже числа записаны. В верхней левой вершине запишем число 1, а в левой нижней вершине – число 3 (направо пойдёшь – 2 маршрута, вверх пойдёшь – 1 маршрут). Последовательно записав в каждую вершину по одному числу, равную сумме правого и верхнего соседей, мы в вершине А запишем число 35 (см. рис.). Примечание. С заданием справились лишь 1% участников.												B A
3.	Найти наибольшее четырёхзначное число, все цифры которого различны и которое делится на 2, на 5, на 9, и на 11. Ответ: 8910. Решение. Имеем 2∙5∙9∙11=990. Это наименьшее число, которое делится на 2, на 5, на 9, и на 11. Но он трёхзначное. Наибольшее четырёхзначное число, которое делится на 990 а значит и на 2, на 5, на 9, и на 11, это 9900. Однако в нём не все цифры различные. Проверим =8910. Оно нас устраивает, так как между 8910 и 9900 нет чисел, кратных 990. Примечание. С заданием справились примерно 30% участников.
4.	Числа от 1 до 10 разбили на две группы так, что произведение чисел первой группы нацело делится на произведение чисел второй группы. Какое наименьшее значение может быть у частного от деления произведения чисел первой группы на произведение чисел второй группы? Ответ: 7. Решение. Пример: (1∙2∙5∙7∙8∙9):(3∙4∙6∙10)=7. Заметим, число 7 нельзя включать во вторую группу, так как нет другого множителя, которое сокращается с 7. Тогда результат деления не может быть меньше 7. Существуют и другие примеры, например (2∙4∙7∙9∙10):(1∙3∙5∙6∙8). Примечание. С заданием справились примерно 16% участников.
5.	Вычислить сумму 1 + (–1+2) + (1–2+3) + (–1+2–3+4) + (1–2+3–4+5) + (–1+2–3+4–5+6) + … + (–1+2–3+4–5+…+98–99+100). Ответ: 2550. Решение. Заметим, что после раскрытия скобок и взаимного уничтожения противоположных чисел останется следующая сумма: 2+4+6+8+…+98+100=(2+100)+(4+98)+…+(48+54)+(50+52)=25∙102=2550. Примечание. С заданием справились чуть больше 8% участников.
6.	Из 343 маленьких одинаковых кубиков составлен куб размером 7×7×7. Сначала в центральном маленьком кубике пишем число 1. Затем, во всех его соседних маленьких кубиках (имеющих с ним общую грань) пишем число 2. Затем, во всех маленьких кубиках, соседних с уже имеющими числа 2, пишем число 4. И так далее, на каждом шаге во всех маленьких кубиках, соседних с уже имеющими число N, пишем число 2N. Какое число будет записано последним? Ответ: 512. Решение. Рассмотрим средний горизонтальный слой, состоящий из 7×7 кубиков и в каждом кубике согласно правилам запишем числа (см. рис. слева). В центральной клетке следующего за средним (2-го) слоя будет записано число 2, а все остальные числа в 2 раза больше, чем в показанной на рисунке. Тогда 4-й (последний) слой будет заполнен следующим образом (см. рис. справа). Аналогично будут заполняться нижние слои. Значит, последним будет записано число 512 в 8 вершинных кубиках. Примечание. С заданием справились только 3 участника и все с одной школы! Странно!
	64	32	16	8	16	32	64			512	256	128	64	128	256	512
32	16	8	4	8	16	32			256	128	64	32	64	128	256
16	8	4	2	4	8	16			128	64	32	16	32	64	128
8	4	2	1	2	4	8			64	32	16	8	16	32	64
16	8	4	2	4	8	16			128	64	32	16	32	64	128
32	16	8	4	8	16	32			256	128	64	32	64	128	256
64	32	16	8	16	32	64			512	256	128	64	128	256	512

7.

Квадрат какого числа равен ? Ответ: . Решение. Заметим, что 11∙11=121, 111∙111=12321. Далее, по интуиции делаем вывод: так как данное число 17-значное, число единиц должно быть 9. Примечание. Некоторые учащиеся записывали ответ в виде , что, конечно, неверно. Однако жюри принимало такие решения. Справились с заданием около 28% участников.